Partculas Elementales Joaqun Gomez Camacho June 6, 2001 ´ PROLOGO Estos apuntes contienen la materia de la asignatura \Partculas Elementales” que se imparte en el quinto curso de la especialidad de Fundamental de la licenciatura de Fsicas de la Universidad de Sevilla. El objetivo principal de los apuntes es introducir el Modelo Estandar, que es la teora que describe los componentes fundamentales de la naturaleza y sus interacciones. Se presupone que el lector sabe que la materia esta compuesta de electrones, protones y neutrones, y que estos interaccionan entre si mediante interacciones electromagneticas, fuertes y debiles segun las leyes de la mecanica cuantica. A partir de ah, se introducen las restantes partculas subatomicas y se describen sus propiedades, su estructura, las partculas elementales que las componen y sus interacciones, de tal forma que, al nal, el lector sepa que la materia esta compuesta de quarks y leptones, que interactuan por la interaccion de color y la interaccion electrodebil en el marco de una clase especial de teoras cuanticas de campo llamadas teoras gauge locales. El captulo primero contiene una breve introduccion historica que describe la evolucion del \paradigma” que describe lo que, en cada momento historico, se consideraba como los componentes fundamentales de la naturaleza. Esta introduccion tiene gran importancia ya que pone en su contexto la importancia del objetivo principal de la asignatura, que no es otro que introducir el Modelo Estandar como paradigma actual de los componentes fundamentales de la naturaleza. El captulo segundo describe las propiedades de las partculas utilizando las interacciones que aparecen en fsica nuclear (fuerte, electromagnetica y debil), y la teora cuantica no relativista. En concreto, se relaciona, usando la regla de oro de Fermi, el tiempo de vida de una partcula con el hamiltoniano de interaccion que produce su decaimiento. El captulo tercero contiene una descripcion fenomenologica de la gran diversidad de partculas subatomicas que se descubrieron a lo largo de este siglo. Entre las partculas subatomicas, los leptones, que no sienten la interaccion fuerte, aparecen como partculas ´ elementales. Estos son el electron, el muon, la tau y sus neutrinos respectivos. Los hadrones, que sienten la interaccion fuerte, no son elementales. Han de introducirse una serie de numeros cuanticos (numero barionico, extra~neza, isospn) para realizar una clasi cacion preliminar de los hadrones. En el captulo cuarto se introduce la descripcion de la interaccion entre las partculas subatomicas usando la teora cuantica de campos. Esta seccion es breve, ya que se supone que la mayora de los estudiantes han cursado un asignatura espec ca de teora cuantica de campos. Si este no fuera el caso, debera ampliarse esta seccion para incluir el concepto de segunda cuantizacion y los diagramas de Feynmann. En el captulo quinto se describen las simetras discretas C, P y T en mecanica clasica, mecanica cuantica y teora cuantica de campos, exponiendo sus consecuencias observables, asi como las evidencias de su violacion por la interaccion debil. El captulo sexto se dedica a introducir los conceptos relevantes de la teora de grupos. Se introducen con el su ciente rigor y generalidad los conceptos de representaciones irreducibles, los operadores tensoriales y el teorema de Wigner-Eckart. Se estudia en detalle el grupo simetrico S(N). En el captulo septimo se estudian los grupos de Lie, introduciendo los generadores. Se estudian en detalle los grupos unitarios U(1), SU(2) y SU(3), utilizando los diagramas de Young. 1 Estos dos captulos son autocontenidos, de forma que pueden servir para otras asignaturas (fsica atomica, fsica nuclear, estado solido) en las que se usa la teora de grupos. Por otro lado, estos captulos podran resumirse u omitirse para estudiantes que hubieran dado un curso espec co de teora de grupos. El captulo octavo trata del modelo SU(3) de sabor. El modelo SU(3) de sabor es un modelo fenomenologico que explota el hecho de que los hadrones pueden agruparse en multipletes que generan representaciones irreducibles del grupo SU(3). De esta forma, se obtienen las formulas de masas, probabilidades de decaimiento y muchas relaciones entre las propiedades de las partculas de un mismo multiplete. El captulo noveno trata del modelo de quarks. El modelo de quarks surge del modelo SU(3) al asignarle entidad fsica a los estados de la representacion fundamental del grupo SU(3). De esta manera, aparecen los quarks u, d y s. Los quarks pesados c, b y t se descubrieron posteriormente. Es destacable la capacidad del modelo de quarks para describir los momentos magneticos de los bariones. Una vez que se describen los hadrones como entes compuestos de quarks, las interacciones de los hadrones han de referirse a las de los quarks que los componen. De esta forma, aparece la interaccion de color entre los quarks. El captulo decimo y ultimo trata de las teoras gauge locales. Se describe explcitamente como la exigencia de la invariancia del lagrangiano de un sistema de fermiones sin interaccion frente a transformaciones gauge locales lleva a la aparicion de unos campos gauge, asociadas a partculas de espn uno y masa nula, que interactuan con los fermiones y entre si de forma totalmente determinada por las propiedades del grupo de simetra. Esto permite describir las propiedades de la interaccion electromagnetica, en la electrodinamica cuantica, y la interaccion de color, en la cromodinamica cuantica. Para describir la interaccion debil, en el que las partculas asociadas a los campos tienen masa, se introduce el mecanismo de Higgs de ruptura espontanea de la simetra. Ello lleva a una descripcion uni cada de las interacciones debiles y electromagneticas en la teora electrodebil. El Modelo estandar aparece como la teora que describe las interacciones entre los constituyentes elementales, que son los quarks y los leptones, mediante en intercambio de los bosones gauge de la teora electrodebil y la cromodinamica cuantica, en un marco formal de teoras gauge locales. Los apuntes estan concebidos como un libro de texto, en el cual los conceptos estan con frecuencia expresados en forma escueta, para ser explicados en clase. No obstante, los desarrollos formales que contiene estan detallados su cientemente. Ademas, el libro contiene muchos ejercicios propuestos, que son aplicacion de la teora. Este libro se sacri ca la extension en aras de la profundidad. As, el libro no pretende ser una introduccion a la vasta fenomenologa de la fsica de altas energas, sino dar una descripcion en profundidad de la naturaleza de los constituyentes elementales de la materia y sus interacciones. Una bibliografa complementaria a estos apuntes es la siguiente: • Burcham and Jobes, Nuclear and Particle Physics, Longman 1995. • Feynman, Electrodinamica Cuantica, Alianza Editorial. • Partculas Elementales, Libros de Investigacion y Ciencia, Labor. • Particle Physics Booklet, Springer, 1998. • Jones, Groups, Representation and Physics, Adam Hilger, 1990. 2 • Close, An introduction to quarks and partons, Academic Press, 1979. • Lee, Particle Physics and Introduction to Field Theory, Harwood, 1981. • Cheng and Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford University Press, 1991. Direcciones interesantes de internet son las siguientes: • The particle Adventure: http://ParticleAdventure.org/ • Particle Data Gruop: http://pdg.lbl.gov/ • CERN: http://cern.web.cern.ch/CERN/ Joaqun Gomez Camacho Agosto de 1999 Version revisada: Octubre de 2000. Junio de 2001. 3 Contents 1 Introduccion Historica a las Partculas Elementales 7 1.1 Elparadigmadelafsicaantigua ....................... 7 1.2 Elparadigmadelafsicaclasica........................ 9 1.3 Elparadigmadelafsicamoderna....................... 10 1.4 Elparadigmadelafsicaactual ........................ 12 2 Decaimiento y colisiones de partculas 15 2.1 Interacciones .................................. 15 2.1.1 Interaccionelectromagnetica...................... 15 2.1.2 Interaccionfuerte ............................ 15 2.1.3 Interacciondebil ............................ 16 2.2 Decaimiento .................................. 16 2.2.1 Densidaddeestados .......................... 17 2.2.2 Estimacion de las probabilidades de emision . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 TeoradeFermidelainteracciondebil . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Seccionese caces ................................ 20 2.4 Problemas.................................... 21 3 Propiedades de las partculas elementales 22 3.1 Introduccion................................... 22 3.2 Leptones..................................... 23 3.3 Hadrones .................................... 25 3.3.1 Numerobarionico............................ 25 3.3.2 Extra~neza ................................ 25 3.3.3 Isospn. ................................. 26 3.3.4 Isospndesistemasdepartculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Partculasestablesyresonancias. ....................... 27 3.5 Conservaciondenumeroscuanticos ...................... 28 3.5.1 Relacion entre las probabilidades de decaimiento . . . . . . . . . . . 29 3.5.2 Relacionentreseccionese caces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6 Problemas ................................... 30 4 Interacciones en una teora cuantica de campos 33 4.1 Interaccionfuerte ................................ 34 4.2 Interaccionelectromagnetica.......................... 35 4.3 Interacciondebil ................................ 36 4.3.1 Procesosleptonicos............................ 36 4.3.2 Procesossemi-leptonicos......................... 37 4 4.3.3 Procesosno-leptonicos.......................... 37 4.3.4 Teora del boson vectorial intermedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 Problemas.................................... 39 5 Simetras discretas 40 5.1 Simetrasdiscretasenmecanicaclasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Simetras discretas en mecanica cuantica no relativista . . . . . . . . . . . 42 5.2.1 Inversionespacial ............................ 42 5.2.2 Conjugaciondecarga.......................... 42 5.2.3 Inversiontemporal ........................... 43 5.3 Simetras discretas en teora cuantica de campos . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.3.1 Inversionespacial ............................ 43 5.3.2 Conjugaciondecarga.......................... 44 5.3.3 Inversiontemporal ........................... 45 5.4 Paridad y conjugacion de carga de sistemas de partculas . . . . . . . . . . 45 5.4.1 Sistemasdefotones ........................... 45 5.4.2 Sistemasfermion-antifermion ..................... 45 5.4.3 Sistemasboson-antiboson ....................... 46 5.4.4 Partculastotalmenteneutras ..................... 46 5.5 Conservacion y violacion de las simetras discretas . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5.1 Violacion de la paridad P por la interaccion debil . . . . . . . . . . 47 5.5.2 ElteoremaCPT ............................ 48 5.5.3 Loskaonesneutros.ViolaciondeCP ................. 49 5.6 Problemas.................................... 50 6 Teora de Grupos 52 6.1 Introduccion................................... 52 6.2 Propiedadesgenerales.............................. 53 6.3 Representaciondegrupos ........................... 54 6.4 RepresentacionProducto ............................ 56 6.5 Operadorestensoriales ............................. 57 6.6 Ejemplosdegruposdiscretos.......................... 59 6.6.1 GrupoS(2) ............................... 59 6.6.2 GrupoS(3) ............................... 60 6.6.3 GrupoS(n) ............................... 61 6.7 Problemas.................................... 63 7 Grupos de Lie 64 7.1 Generadores................................... 64 7.2 GrupoU(1) ................................... 66 7.3 GrupoU(2) ................................... 66 7.4 GrupoSU(2) .................................. 67 7.5 GrupoSU(3) .................................. 68 7.5.1 Representaciones irreducibles de SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.5.2 Caracterizacion de los estados. Diagramas de pesos. . . . . . . . . 70 7.5.3 Caracterizacion de los generadores. Diagramas de races. . . . . . . 71 7.5.4 Representaciones principales de SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5.5 Descomposicion de representaciones producto de SU(3) . . . . . . . 72 5 7.6 Problemas.................................... 73 8 Modelo SU(3) de sabor 74 8.1 Octetes,decupletesysingletesdehadrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.2 Formulasdemasas ............................... 75 8.3 Mezcladerepresentaciones ........................... 77 8.4 AplicacionesdelasimetraSU(3) ....................... 77 8.4.1 Decaimientofuertedehadrones .................... 77 8.4.2 Constantesdeacoplamientofuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.4.3 Constantesdelacorrientedebil .................... 78 8.5 Problemas.................................... 78 9 Modelo de Quarks 80 9.1 Los quarks como representacion fundamental de SU(3) de sabor . . . . . . 80 9.1.1 Funcionesdeondadesabordeloshadrones . . . . . . . . . . . . . 81 9.1.2 Losquarkscomofermiones:elcolor.................. 83 9.1.3 Momentomagnetico .......................... 84 9.2 Interaccionesentrequarks ........................... 86 9.2.1 Interaccionfuerte............................. 86 9.2.2 Interaccionelectromagnetica. ..................... 87 ´ 9.2.3 Interaccion debil. Angulo de Cabibbo. Matriz CKM. . . . . . . . . 87 9.3 Quarkspesados ................................. 88 9.3.1 Quarkc ................................. 88 9.3.2 Quarkb ................................. 88 9.3.3 Quarkt ................................. 88 9.4 Evidenciasexperimentalesdelosquarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.4.1 Experimentosdeanalisis........................ 89 9.4.2 Experimentosdesntesis ........................ 90 9.5 Problemas.................................... 91 10 Teoras Gauge Locales 92 10.1 Estructura general de las teoras gauge locales . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.2Electrodinamicacuantica:grupoU(1)..................... 93 10.3Cromodinamicacuantica:grupoSU(3) .................... 95 10.4 Teora preliminar para la interaccion electro-debil: grupo U(2) . . . . . . . 98 10.5 Mecanismo de Higgs de ruptura espontanea de la simetra . . . . . . . . . 102 10.5.1 MecanismodeHiggsenunateoraU(1)................ 102 10.5.2 MecanismodeHiggsenunateoraU(2)................ 104 10.6TeoraElectrodebil ............................... 105 10.7 ElModeloEstandar.. . . . . . . . . ... . . . . . . . . ... . . . . . . . 107 10.7.1 PartculasElementales ......................... 107 10.7.2 Interacciones .............................. 107 10.7.3 Marcoteorico.............................. 108 10.8 Problemas . . . . ... . . . . . . . . ... . . . . . . . . ... . . . . . . . 108 6 Chapter 1 Introduccion Historica a las Partculas Elementales 1.1 El paradigma de la fsica antigua La ciencia, tal como la conocemos actualmente, parte de la cultura griega. Fue la civilizacion griega la primera que se planteo una descripcion de la naturaleza que no estuviera totalmente condicionada a la actuacion de seres sobrenaturales. En este sentido, algunas contribuciones fundamentales al desarrollo de la ciencia fueron las siguientes: Thales: (Mileto, Asia Menor, 624-548 a.c.) Establecio que la naturaleza, a pesar de la gran variedad que presenta, puede ser comprendida, si es observada cuidadosamente. Planteo que todas las sustancias estaban formadas por un principio unico, que identi co con el agua, ya que esta poda presentarse como solido, lquido o gas. Pitagoras: (Crotona, Napoles, 580-500 a.c.) Ademas del famoso teorema, descubrio que las subdivisiones enteras o racionales de una cuerda producan sonidos musicales armoniosos. Ello llevo a la idea de que la descripcion de los fenomenos de la naturaleza poda, y deba, hacense en terminos de numeros. Es mas, los pitagoricos pensaban que los numeros estaban en la esencia de todas las cosas. ´ Los pitagoricos sab ian que la tierra era redonda, aunque consideraban que no era habitable mucho mas alla de la zona del mediterraneo. La tierra, el sol, la luna y los planetas giraban en torno a un \fuego central” del cual reciba el sol su luz, de la misma forma que la luna. Empedocles: (Acragas, Sicilia, 490-430 a.c.) ´ Planteo que no pod ia haber un principio unico del que todas las cosas estuvieran  compuestas, ya que en la naturaleza haba propiedades contradictorias. Por ejemplo, ´ existen cosas secas y humedas. Como el agua es intr insecamente humeda, no puede ser el principio o que existan cuatro elementos: Agua, Tierra, Aire unico. Por ello, estableci y Fuego. Estos elementos tenan propiedades opuestas. Agua y Tierra son pesados, mientras que Aire y Fuego son ligeros. Por otro lado, Agua y Aire son humedos, mientras que Fuego y Tierra son secos. Todas las sustancias conocidas estaban compuestas de estos elementos en distintas proporciones. 7 Los elementos se unan o separaban por dos \interacciones". El \Amor” tenda a unir los elementos, mientras que el \Odio” los separaba. La naturaleza, con todas sus diferentes manifestaciones, surga del equilibrio entre estas interacciones. Democrito: (Abdera, Tracia, 460-370 a.c.) Establecio que todas las cosas estaban compuestas de atomos.  Estos atomos eran peque~nos, indivisibles, de distintas formas y taman~os, pero compuestos por la misma ´ sustancia. Los atomos estaban en continuo movimiento, y estaban separados por el vac io. La gravedad se explicaba por un movimiento de rotacion, que haca que los atomos mas grandes, que correspondan a sustancias mas pesadas, tendieran a irse hacia el centro de la tierra, mientras que los mas ligeros iban hacia fuera. Incluso el alma estaba compuesta ´ de un tipo de idos por todo el cuerpo de los seres atomos especialmente ligeros, distribu vivos. Aristoteles: (Atenas, 384-322 a.c.) La obra \Fsica” de Aristoteles tiene una aplicacion mucho mas amplia de lo que actualmente se entiende por el termino. Partiendo del concepto de sustancia (inmutable) y forma (cambiante), Aristoteles describe el movimiento como un tipo de cambio. Aristoteles describe el universo con la tierra (esferica) en su centro. Separa el universo en la esfera terrestre, situada por debajo de la orbita de la luna, y la esfera celeste, situado por encima de la luna, incluyendo esta. El movimiento de los astros en la esfera celeste era inmutable, y se describa en funcion de circulos, que eran las guras perfectas para ´ los griegos. El movimiento en la esfera terrestre ven ia descrito por lineas rectas. Dentro de este movimiento, se distinguen los movimientos naturales, por los cuales los objetos pesados (Agua y Tierra) se dirigen hacia el centro de la tierra, mientras que los objetos ligeros (Fuego y Aire) se dirigen hacia arriba, y los movimientos forzados, que requieren una causa externa. Aristoteles considera que, en los movimientos forzados, es necesaria una causa que provoque el movimiento, de tal manera que, cuando cesa la causa, cesa el movimiento. As, la velocidad sera proporcional a la fuerza, e inversamente proporcional a la resistencia del medio. Por ello, Aristoteles no admita la existencia del vaco, ya que implicara una resistencia nula. Por tanto, no aceptaba la teora atocrito, omica de los atomos de Dem aunque asuma plenamente la teora de los cuatro elementos de Empedocles. La descripcion de los movimientos forzados requera de una causa o \motor” para cada movimiento. El movimiento del \motor", a su vez, debe estar causado por otro \motor". De esta manera, se llega a una ovil, en el que est ultima causa o \Motor” inma el origen de todo movimiento. Este \Motor” es Dios, y sus propiedades vienen descritas en el libro Octavo de la \Fisica". La Teologa es, por tanto, para Aristoteles, una rama de la Fsica. La Fsica de Aristoteles, junto con los cuatro elementos de Empedocles, han consti ´ tuido el paradigma basico del saber cient i co durante casi 2000 a~nos. Basados en este paradigma, Arqumedes descubrio las leyes de la palanca, y el principio que lleva su monotestas encontraron una base cient ca solida. Los cuatro elementos constitu ian la nombre. Ptolomeo describio el movimiento celeste con gran precision. Las religiones ´  base natural para descripcion de los fenomenos de una sociedad basada en la agricultura, ya que tierra, agua, aire y fuego (luz solar) son los ingredientes necesarios para la agricul tura. Del mismo modo, las variaciones estacionales en la agricultura pueden entenderse 8 como ciclos en que domina el \amor” (primavera y verano, en que los elementos se combinan para que crezcan las plantas y los frutos), o el \odio” (oto~no e invierno, en que las plantas se secan, y los elementos que las constituyer se separan). En este contexto, no es sorprendente el empe~no de los alquimistas medievales en la transmutacion de las sustancias. Si todas las sustancias estaban hechas de los cuatro elementos, poda pasarse de plomo (o de cualquier otra sustancia) a oro a~nadiendo la proporcion adecuada de fuego, aire, agua y tierra. El paradigma de la fsica antigua no se vio sustancialmente modi cado durante la edad media, aunque es destacable el desarrollo de conceptos loso cos que precedieron al renacimiento. Entre ellos cabe destacar a Guillermo de Occam, que planteo su principio, denominado \la navaja de Occam": Pluribus non est ponenda sine necesitate. No debe presuponerse la multiplicidad sin ´ necesidad. Este es un principio basico en el desarrollo de la ciencia hasta nuestros das. De forma esquematica, podemos resumir el paradigma de la fsica antigua como sigue: Elementos: Tierra, Agua, Aire y Fuego. Interacciones: Amor y Odio. Fuerzas exteriores. Marco Teorico: Fsica de Aristoteles. 1.2 El paradigma de la fsica clasica La sustitucion del paradigma de la fsica antigua por lo que conocemos por la fsica clasica, fue una evolucion gradual entre los siglos XVI y XIX. Los hitos mas importantes son los siguientes: Copernico: (Cracovia, 1473-1543) Establecio el sistema heliocentrico. Este ya haba sido propuesto por Aristarco de Samos hacia el 280 a.c., aunque no se acepto. Galileo: (Pisa, 1564-1642) Establecio el principio de que las propiedades de los sistemas son las mismas si estan en reposo o en movimiento uniforme. Tambien formulo la ley de la inercia, por la cual los cuerpos tienden a mantener su movimiento en ausencia de acciones externas. Newton: (Cambridge, 1642-1727) ´ Desarrollo (con Leibnitz) el calculo difrerencial, lo que permit ia una descripcion formal ´ de las leyes fsicas, mas alla de la geometr ia que era el instrumento de los cient cos anteriores. Formulo sus tres leyes. La primera ya habia sido planteada por Galileo. La segunda ´ establecia que la fuerza era proporcional a la aceleracion, y no a la velocidad. Notese que la diferencia estricta entre aceleracion y velocidad pudo plantearse a partir del desarrollo ´ del calculo diferencial. La tercera, la ley de accion y reaccion, hac ia que no fuera necesaria una cadena de relaciones causales para provocar el movimiento. Finalmente, planteo la ley de la gravitacion universal, lo cual permitia borrar la separacion entre esferas celeste y terrestre. Todo el universo, por tanto, satisfaca las mismas leyes. Lavoisier: (Pars, 1747-1794) 9 ´ Consiguio descomponer el agua en hidrogeno y oxgeno, as i como recomponerla. Por otro lado descubrio que la combustion se deba a la combinacion de las sustancias con el oxgeno. Previamente, se haba considerado que los cuerpos, al arder, emitan una sustancia llamada Flogisto. Esto era la prueba de nitiva de que los elementos de Empedocles no eran realmente fundamentales. Por otro lado, comprobo que en las reacciones qumicas se conservaba la cantidad total de materia. Dalton: (Manchester, 1766-1844) ´ Planteo la teora atomica, partiendo del hecho de que las reacciones qu imicas entre gases ocurrian en proporciones sencillas de volumen. Obtuvo la relacion de las masas atomicas de varios elementos con la del hidrogeno. Posteriormente, el desarrollo de la ´ teora cinetica de los gases, justi co plenamente la teor ia atomica, cuya base haba sido ya planteada por Democrito. Maxwell: (Cambridge, 1831-1879) ´ Uni ca la descripcion de los fenomenos electricos y magneticos, asi como la luz y otras radiaciones electromagneticas en funcion de campos electricos y magneticos, que satisfacen las ecuaciones que llevan su nombre. Mendeleyev: (San Petersburgo, 1834-1907) Clasi ca los elementos, que son cerca de 90, en la tabla periodica. De esta forma, se correlaciona el peso atomico con las propiedades qumicas de los elementos. El panorama de la ciencia a nales del siglo XIX era brillante. La ciencia constitua una base para las necesidades tecnologicas de la revolucion industrial. Las leyes de Newton ´ se ve ian plenamente con rmadas por observaciones astronomicas. Se desarrollaban las ´ aplicaciones practicas de la electricidad. La qu imica progresaba a partir de la base de ´ la teor ia at omica, aunque la naturaleza de las interacciones entre los atomos, el enlace ´ quimico, no fuera bien comprendida. La biologa y la medicina se iban despojando de principios vitalistas, y se bene ciaban de los avances de la fsica y la qumica. Esquematicamente, el paradigma de la fsica clasica puede expresarse como sigue: Elementos: 90 elementos de la Tabla Periodica. ´ Interacciones: Gravitacion. Electromagnetismo. Enlace qu imico. Marco Teorico: Fsica Clasica (Leyes de Newton). 1.3 El paradigma de la fsica moderna Aunque la ciencia clasica sigue siendo de plena validez en muchos campos, sus fundamentos tuvieron que ser modi cados en funcion de descubrimientos realizados a nales del siglo XIX y principios del siglo XX. Thompson: Descubre el electron en 1897. Plantea el primer modelo del atomo, pero no consigue describir adecuadamente el espectro de absorcion y emision. Becquerel: (Pars, 1852-1908) Descubre la radiactividad (1896). Las radiaciones descubiertas se identi can posteri ´ ormente con part iculas cargadas extraordinariamente energeticas. 10 Plank: (Berln, 1858-1947) Plantea la hipotesis de los cuantos (1900) para explicar el espectro de emision del cuerpo negro. Rutherford: (Manchester, 1871-1937) Descubre el nucleo at omico (1911). Plantea el modelo planetario del atomo, aunque no es compatible con el electromagnetismo. Identi ca la radiacion a como nucleos de helio. Produce la primera reaccion nuclear a +14 Np +17 O: La transmutacion de los ! elementos, que era el sue~no de los alquimistas, se haba logrado. Bohr: (Copenhague, 1885-1962) Aplica los cuantos al modelo de Rutherford (1913), consiguiendo explicar satisfactoriamente la absorcion y emision de luz por los atomos. Contribuye de forma fundamental al desarrollo de la fsica atomica y de la fsica nuclear. Heisenberg: (Munich, 1901-1976) Formula el principio de indeterminacion, por el cual no es posible conocer con precision el valor de la coordenada y el momento de una partcula. Desarrolla la mecanica matricial (1925) para describir la emision de radiacion. Schrodinger: (Viena, 1887-1961) Propone la ecuacion que lleva su nombre (1926), para describir el estado de los sistemas cuanticos. Pauli: Plantea el principio de exclusion, que es basico para interpretar la estructura de atomos poliatomicos. Postula en 1931 la existencia del neutrino, para justi car la conservacion de la energa en el decaimiento beta. Chadwick: (Manchester, 1891-1974) Descubre el neutron en 1932, con carga neutra y masa parecida al proton. Ello permite explicar que las masas atomicas fueran aproximadamente m ultiplos de la del atomo de hidrogeno. Fermi: (Roma, 1901-1954) Plantea la primera teora de la interaccion debil (1930) que es capaz de explicar el espectro de emision de electrones en el decaimiento beta. Einstein: Explica el efecto fotoelectrico (1905), aplicando la teora de los cuantos. Introduce la teora especial de la relatividad (1905), que modi ca la concepcion del tiempo y el espacio, y correlaciona masa y energa, y la teora general de la relatividad, que explica la gravitacion como una curvatura espacio-temporal. El descubrimiento por Einstein de la relatividad especial y general suponen una modi cacion muy importante del paradigma clasico, aunque, mas que invalidarlo, lo llevan a su plenitud. La relatividad especial establece que las leyes de transformacion que dejan invariante un sistema no son las transformaciones de Galileo, que ya entraban en conicto con las ecuaciones de Maxwell, sino las transformaciones de Lorentz. La relatividad general justi ca la igualdad entre la masa inercial y la gravitatoria, que era un hecho emprico 11 en la gravitacion de Newton. Ademas, la relatividad general predice la curvatura de la luz en campos gravitatorios. Los descubrimientos asociados con la fsica cuantica suponen una revolucion en el paradigma clasico. El principio de indeterminacion hace que las leyes de Newton no sean aplicables para el ucleo. on de atomo o el nEn su lugar, debe aplicarse la ecuaci Schrodinger. El paradigma de la ciencia moderna tiene hoy en da una aplicabilidad plena en la inmensa mayora de los campos de la ciencia. Los fundamentos del enlace qumico estan justi cados por la descripcion cuantica del movimiento de electrones en atomos y moleculas. Del mismo modo, la interaccion de los electrones con una red cristalina es la base de la fsica del estado solido. Para estas ciencias, la interaccion electromagnetica esta en el origen de todos los fenomenos. Por otro lado, la gran mayora de los fenomenos en fsica nuclear pueden describirse en este paradigma, aunque el origen de la interaccion fuerte y la debil no queda plenamente justi cado. La astrofsica (evolucion estelar, estrellas de neutrones, supernovas) tambien se describe en este paradigma. El paradigma de la fsica moderna que se establece sobre 1940 puede describirse como sigue: Elementos: Electron, proton, neutron, (neutrino). Interacciones: Gravitacion, electromagnetismo, interaccion fuerte, interaccion debil. Marco Teorico: Fsica cuantica (Ecuacion de Schrodinger) 1.4 El paradigma de la fsica actual El paradigma de la ciencia moderna, aunque plenamente aplicable hoy en da en la mayora de los campos cient cos, resulto insu ciente como base para describir la partculas y las interacciones realmente fundamentales. Las contribuciones principales que llevaron a su cuestionamiento fueron las siguientes: Dirac: (Cambridge 1902-1984) Plantea una ecuacion cuantica en que la funcion de onda es compatible con la relatividad especial. Ello le lleva a postular la existencia de una antipartcula para cada partcula de espin semi-entero. En 1928 postula la existencia del positron, que es descubierto en 1932. Sienta las bases de la electrodinamica cuantica como una teora cuantica de campos, en la que las interaccion electromagnetica se produce por intercambio de fotones. Yukawa: (Tokio 1907-1981) Aplicando la teora cuantica de campos a la interaccion fuerte, deduce que debe existir una partcula que transmite la interaccion fuerte, cuya masa es inversamente proporcional al rango de la interaccion m = hc=a. on fuerte (1 fm), Por ello, del rango de la interacci ´ deduce la existencia de part iculas de masa sobre 200 MeV, que llama mesones (1935). ´ Descubrimiento de Part iculas: Analizando los rayos cosmicos en la camara de niebla, se descubre en 1937 em muon, de masa 107 MeV, pero no puede corresponder a la partcula predicha por Yukawa, porque no interactua con la materia por la interaccion fuerte. En 1947 se descubren los piones de masa 140 MeV, que si se adecuan a los mesones de Yukawa. Poco despues, se descubren ´ otras muchas part iculas, algunas de masas intermedias entre los piones y los protones, 12 como los mesones K (m=500 MeV), y otras mas pesadas que el proton, llamadas hiperones, como la . (m=1110 MeV). Estas partculas, son inestables, y se descomponen en tiempos del orden de 10..8 segundos para dar protones, neutrones, electrones (o positrones) y neutrinos. Posteriormente, con el desarrollo de los aceleradores de partculas, se producen muchas mas partculas, de vida cada vez mas corta. Feynmann: (Boston (MIT) 1918-1988) Con Schwinger, Tomonaga y muchos otros, contribuye al desarrollo de la teora cuantica de campos en general, y de la electrodinamica cuantica en particular. Esta teora permite describir la relacion del momento magnetico del electron con su carga y su masa con una precision de 10 cifras signi cativas. Ademas, es una teora de tipo \Gauge Local", que sirve de modelo para las teoras del resto de las interacciones. Gell-Mann: (Chicago 1929-) ´ El y Zweig, de forma independiente, plantean el modelo de quarks (1963), que permite describir la gran variedad de partculas elementales (mesones y bariones) en terminos de unas partculas fundamentales llamadas quarks. Esta hipotesis recibio apoyo experimental en experimentos de colision electron-nucleon a altas energas (1968). Weinberg: (Harvard 1933-) Con Salam, plantean en 1967 una teora uni cada \Gauge Local” que permite describir la interaccion electromagnetica y la interaccion debil. Predicen la existencia de nuevas particulas, los bosones W ± y Z0, que junto con el foton describen las interacciones electro- debiles. Las predicciones de la teora electrodebil se ven con rmadas por el descubrimiento experimental de estos bosones. Cromodinamica Cuantica: La interaccion que liga a los quarks cristaliza en una teora \Gauge Local", que adquiere su formulacion de nitiva en 1973, y que relaciona la interraccion a una propiedad de los quarks llamada color, y esta asociada a ocho partculas sin masa llamados gluones. La cromodinamica cuantica no puede tratarse de forma perturbativa a energas peque~nas, pero a energas altas se reduce, lo cual ha permitido veri car experimentalmente sus predicciones. El paradigma de la ciencia actual, que se establece sobre 1975, y se conoce como \Modelo Estandar", puede describirse de forma abreviada como sigue: Elementos: Quarks (u, d, s, c, b, t), con tres colores cada uno, y leptones (e, e, , , , t ). Falta por descubrir el boson de Higgs. Interacciones: Interaccion electro-debil (, W + , W .., Z0), interaccion de color (8 gluones) y Gravitacion. Marco Teorico: Teorias Gauge Locales. El Modelo Estandar presenta una descripcion especialmente elegante y simple de las interacciones: estas interacciones aparecen como consecuencia de la simetra de los sistemas frente a un conjunto de transformaciones. Las propiedades de la interaccion quedan totalmente determinadas por el grupo de simetra, y su intensidad viene dada por una 13 constante (o dos en el caso de la teora electrodebil. La teora de la gravitacion de Einstein, aunque es una teora clasica, es una teora gauge local. En este caso, el grupo de simetra corresponde a las transformaciones de Lorentz. El campo gravitatorio preserva esta simetra haciendo, por ejemplo, que un sistema en movimiento acelerado sea completamete equivalente a un sistema en reposo mas un campo gravitatorio. El Modelo Estandar ha sido avalado por un gran numero de observaciones realizadas en los aceleradores de altas energas. Recientemente, se observo expermentalmente el ultimo quark predicho, el top (t), y solamente falta encontrar una partcula, el boson de Higgs, que es responsable de la masa no nula de los bosones de la interaccion debil y de los fermiones. Existen evidencias de que no hay mas neutrinos sin masa de los tres que se han hallado, por lo que no debe haber mas familias de partculas. El modelo estandar ha permitido avances importantes en la cosmologa, porque permite inferir la evolucion del universo a partir de una fraccion de segundo despues de la gran explosion. Aunque la cromodinamica cuantica debera ser capaz de dar las masas de todos los hadrones (partculas compuestas de quarks), y de las interacciones entre ellos, el caracter no perturbativo de la teora di culta estos calculos, por lo que no hay todava resultados ables de estas magnitudes. Ello limita la aplicabilidad de la cromodinamica cuantica en la fsica nuclear. 14 Chapter 2 Decaimiento y colisiones de partculas El paradigma de la fsica moderna incluye a proton, neutron, electron y neutrino como partculas fundamentales. Considera las interacciones gravitatoria, electromagnetica, fuerte y debil. La primera es irrelevante para la fsica nuclear o de partculas. Las demas son consideradas en el marco de la teora cuantica. El desarrollo de este paradigma lleva a una descripcion detallada de la estructura de ucleos aten puede describirse el decaimiento de estos sistemas, atomos y nomicos. Tambi y las colisiones entre ellos. 2.1 Interacciones Vamos a describir las caractersticas cualitativas de las interacciones: 2.1.1 Interaccion electromagnetica Ocurre entre partculas cargadas, y tiene un largo alcance. El potencial escalar viene dado por la expresion 2 e V (r)= Z1Z2 40r donde e2=40 =1:44 MeV fm. Para distancias tpicas de 1 fm, la interaccion entre dos partculas de carga unidad es del orden de 1 MeV. As, podemos expresar . 1 MeV, como una medida del orden de magnitud de la interaccion electromagnetica. 2.1.2 Interaccion fuerte Ocurre entre protones y neutrones, es una interaccion atractiva, y es responsable de que protones y neutrones formen nucleos atomicos. La interaccion tiene un alcance del orden de 1 fm. La interaccion fuerte tiene una dependencia complicada con la distancia, depende de la orientacion de los espines, de la energa y del momento angular. No obstante, en muchos casos, pueden utilizarse parametrizaciones simples de la interaccion fuerte. Por ejemplo, puede usarse un pozo cuadrado, V (r)= ..V0 r R, 15 o bien una forma de tipo Yukawa: V (r)= ..V0 exp(..r=R) r=R Los parametros R y V0 se obtienen ajustando datos experimentales, tales como la energa de ligadura y el radio del deuteron, que es un estado ligado de proton y neutron. El parametro R es del orden de 1 fm, y para obtener una estimacion de V0 basta considerar que la interaccion debe ser su ciente para formar un estado ligado de proton y neutron. Esto lleva, para el potencial de pozo cuadrado, a la relacion 2h2 V0R2 = 8µ (2.1) Esta desigualdad se convierte en igualdad cuando la energa de ligadura del deuteron puede despreciarse frente a V0. Para R =1fm, se obtiene V0 = 103MeV , que es mucho mayor que la energa de ligadura del deuteron B =2:22MeV . Por tanto, podemos concluir que . 100MeV , como una estimacion de la interaccion fuerte. 2.1.3 Interaccion debil La interacion debil es la responsable del decaimiento de un neutron libre: np + e- +. ! La partcula , o antineutrino, es una partcula sin carga ni masa en reposo que se mueve con la velocidad de la luz, que fue postulada para que se cumpliera la conservacion de la energa, y se detecto experimentalmente muchos a~nos despues. Otros procesos posibles debidos a la interaccion debil son: n+p+e- (interaccion de neutrinos), p+e- n+ !! (captura electronica), pn + e+ + . (emisiEstos ultimos procesos no puede on +).  . ´ darse para un proton libre, porque no se conservara la energa, pero s i puede ocurrir en un proton que se halla dentro de un nucleo atomico. Estos procesos pueden describirse en la teora de Fermi de la interaccion debil introduciendo un termino en el hamiltoniano que se expresa como Hw = GF 3(~r)(+ + ..) donde + es un operador que transforma un neutron en proton, y crea o aniquila electrones y neutrinos conservando la carga electrica y el numero leptonico, que veremos posteriormente. - es el operador conjugado. Explcitamente, se tiene =< p, j+jn, e + >=< p;e..j+jn;. >=< p;e..;j+jn>=1 y el resto de los elementos de matriz son nulos. La constante de Fermi GF toma el valor de 89:62 10..6 MeV fm3 . La funcion d indica que la interaccion debil tiene un alcance · mucho mas corto incluso que la interaccion fuerte, y esto se mani esta en la distribucion de los momentos de las partculas producidas por la interaccion debil. Una estimacion del valor de la interaccion debil se obtiene promediando su efecto sobre un volumen de 1 fm3, con lo cual se tiene . 10..4MeV . 2.2 Decaimiento En mecanica cuantica, una partcula inestable, o un sistema compuesto que tenga una energa su ciente puede descomponerse o decaer, produciendo varios fragmentos (partculas 16 o fotones). Para describir este proceso, se descompone el = c hamiltoniano HH0 + H0. H0 es la parte del hamiltoniano que de ne la partcula o el sistema, de forma que es un autoestado de H0. H. es la parte del hamiltoniano que produce el decaimiento. La probabilidad por unidad de tiempo de que se produzca el decaimiento viene dada por la regla de oro de Fermi: 2p Wi;f = h| j2(E) donde es el elemento de matriz de la parte del hamiltoniano responsable del decaimiento, entre el estado inicial i y el estado nal f en el que se ha emitido los fragmentos, y (E) es la densidad de auto-estados de H0 que pueden producirse tras el decaimiento, es decir, el numero de estados nales entre E y E + dE, dividido por dE. Notese que si un sistema puede decaer, su vida media t viene dada por 1=Wi;f , y su energa tendra una indeterminacion caracterizada por G = hWi;f . 2.2.1 Densidad de estados Decaimiento en dos partculas. Caso general Consideremos una partcula A que se desintegra en B + C. En el proceso se libera una energa total E = M(A)c2, y una energa cinetica Ec =(M(A) - M(B) - M(C))c2 . Sea P~es el momento de B, que es igual y de signo contrario al de C. Notese que si se especi ca el valor de P~, se determina el estado tanto de B como de C. Supongamos que B y C se con nan a un volumen O = L3 (L se tomara posteriormente como 1 fm). Los an cuantizadas de forma que Px 2valores de las componentes Px;PyyPz est= nxh=L. El numero de estados tal que el modulo de su momento es inferior a P viene dado por los posibles valores enteros de nx;nyynz tales que: 2 PL 222 n + n + n xyz = h2p lo cual lleva, a partir del volumen de la esfera, a: 4(Pc)3L3 N(P )= 3(2 hc)3 En general, Pc es una funcion de E. Si se deriva N(P), se obtiene dN(P )4 (Pc)2 dP c (E)= = dE (2dE hc)3 La expresion concreta depende de la relacion entre Pc y E. En el caso general de que B y ´ C sean part iculas relativistas, la conservacion del cuadrivector energa-momento lleva a: E = M(A)c 2 =(M(B)c2)2 +(Pc)2 +(M(C)c2)2 +(Pc)2 Decaimiento en dos partculas no relativistas Supongamos que la energa cinetica Ec es considerablemente menor que las masas en reposo de B y C, con lo que ambas se moveran de forma no relativista. Entonces Ec =(Pc)2=(2c2), donde µ es la masa reducida de B y C, y (E)=2 Ec 1=2(2c 2)3=2=(2 hc)3 17 Decaimiento en una partcula relativista y una partcula pesada Consideremos que Ec y M(C)c2 son mucho mas peque~nas que M(B)c2 . Este es el caso cuando un nucleo emite un foton. En ese caso, la partcula C se lleva practicamente toda la energa cinetica, y se cumple que E = M(B)c 2 +(M(C)c2)2 +(Pc)2 de donde puede obtenerse la expresion de la densidad de estados. Cuando la partcula C tiene masa nula o mucho menor que Ec (lmite ultrarrelativista), se tiene que E - M(B)c2 = Pc y 2 (E) = 4(2)2M(A)c- M(B)c(2hc)3 . ´ Decaimiento en dos part iculas ligeras y una partcula pesada. Caso general Consideramos el proceso en el que un nucleo atomico, o cualquier otra partcula pesada A, emite dos partculas de masa peque~na C y D, dejando una partcula pesada residual B, de masa parecida a la inicial. En ese caso, el nucleo residual se lleva una parte muy peque~na de la energa cinetica disponible. La energa se distribuye entre los fragmentos ligeros, y el nucleo residual se lleva el momento necesario para compensar el de las otras dos partculas. En este caso, los momentos de las partculas C y D son diferentes en general, pero la suma de sus energas debe venir dada por ET = EC + ED = M(A)c2 - M(B)c2 . El momento PC de la partcula C esta relacionado con su energa por EC 2 =(M(C)c 2)2 +(PC c)2 y la densidad de estados de esta partcula viene dada por: 4 EC EC 2 - (M(C)c2)2 C (EC )= (2 hc)3 Las mismas expresiones de obtienen para la partcula B. Para calcular la densidad de estados nales en los que se cumple ET = EC + ED, basta con integrar . ET (ET )= dEC C (EC)D(ET - EC ) M(C)c2+M(D)c2 En el limite en que ET sea muy superior a M(C)c2 y M(D)c2, pueden utilizarse las expresiones untrarelativistas para C y D y se tiene: (4 )2ET 5 (ET )= 30(2 hc)6 2.2.2 Estimacion de las probabilidades de emision Interaccion fuerte Consideremos la emision de un nucleon por un nucleo. Supongamos que el nucleo inicial tiene la energa su ciente para que el nucleon salga con 10 MeV. Entonces, utilizando la expresion no relativista, se tiene (E)=0:84 10..3MeV ..1 . Utilizando la estimacion de  la interaccion fuerte, se tiene Wi;f . 8 1022s..1,G . 52:8MeV , t . 0:12 10..22s. Vemos, · por tanto, que los sistemas que decaen por la interaccion fuerte tienen vidas muy cortas. 18 Interaccion electromagnetica Consideremos la emision de un foton por un nucleo, considerando tambien el caso en que la energa cinetica disponible es de 10 MeV. En ese caso, usando la expresion de la emision de una partcula ultrarrelativista, se tiene (E)=0:66 10..6MeV ..1 . Usando la · estimacion de la interaccion electromagnetica, se tiene Wi;f . 61015s..1,G . 410..6MeV ,  t . 1:6 10..16s. Los sistemas que decaen por interaccion electromagnetica tienen vidas · mas largas que los que decaen por interaccion fuerte, debido a que la interaccion es mas debil, pero tambien a que la densidad de estados suele ser menor, al producirse partculas relativistas (fotones). Interaccion debil Consideremos la emision de un electron y un neutrino por un nucleo, considerando tambien el caso en que la energa cinetica disponible es de 10 MeV. En ese caso, usando la expresion de la emision de dos partculas ligeras y una pesada, en el lmite ultrarrelativista, se tiene (E)=1:46 10..13MeV ..1 . Usando la estimacion de la interaccion debil, se tiene · Wi;f . 14s..1,G . 9 10..21MeV , t . 0:07s. Los sistemas que decaen por interaccion · electromagnetica tienen vidas muy largas, debido a que la interaccion es muy debil, pero tambien a que la densidad de estados es mucho menor, al emitirse dos partculas ligeras. 2.2.3 Teora de Fermi de la interaccion debil La teora de Fermi se introdujo para explicar el espectro de emision de electrones en el decaimiento beta. La teora parte de la regla de oro de Fermi. Para evaluar el elemento de matriz , se considera que el nucleo inicial, con una funcion de onda i, describe Z protones y N neutrones. El nucleo nal, con una funcion de onda f , describe Z+1 protones y N-1 neutrones. El electron y el neutrino vienen descritos por ondas planas, normalizadas en el volumen . Sea ~rN la coordenada del neutron que se convierte en proton, y ~rL la coordenada donde se producen el electron y el neutrino. Sea . la variable por la que denotamos el resto de las coordenadas relevantes. Entonces, = dd~rN d~rL i(, ~rN )Hw(~rN , ~rL) f (, ~rN ) exp(i~ke~rL) exp(i~k~rL) pO pO Teniendo en cuenta la expresion de la interaccion debil, se tiene = GO F dd~rN i(, ~rN )t .. f (, ~rN ) exp(i~k~rN ) donde ~k = ~ke +~k. Para energas no muy altas, krN . 1, y puede expresarse = GF Mi;f = , donde . Mi;f = dd~rN i(, ~rN ) f (, ~rN ) depende solo de la estructura de los nucleos. Utilizando la expresion de la densidad de estados, se tiene, para la probabilidad total de emision beta, 2p (4GF )22Wi;f = hhc)6 jMi;f j (2 . ET . dEe Ee 2 - (mec2)2Ee(ET - Ee)2 . 2 mec 19 Si queremos obtener la probabilidad de emision de un electron con energa entre Ee y Ee + dEe, tenemos 2p (4GF )22 dWi;f =dEe = hhc)6 jMi;f j (2 Ee 2 - (mec2)2Ee(ET - Ee)2 . que da la forma del espectro beta. Esta forma, no obstante, se ve modi cada debido a la carga electrica del nucleo nal, que interacciona con el electron. 2.3 Secciones e caces Describen procesos en los que inicialmente hay dos partculas que colisionan, dando lugar a otras partculas, o bien a las mismas partculas incidentes moviendose en una direccion diferente. Si consideramos que inicialmente hay un haz de partculas incidentes con velocidad v que colisionan con un blanco de partculas en reposo, la seccion e caz se de ne como s = Nc=(iNb) donde Nc es el numero de colisiones por unidad de tiempo, i es el numero de partculas incidentes por unidad de tiempo y unidad de area y Nb es el numero de partculas en el blanco. A efectos de evaluar esta expresion, vamos a considerar que el volumen del blanco V se divide en un numero de celdillas de volumen , tales que en cada volumen de interaccion O hay una probabilidad pi de que haya una partcula incidente y una probabilidad pb de que haya una partcula del blanco. Entonces, i = piv= , Nb = pbV= , y Nc = pipbV= Wi:f . Por tanto, se tiene la relacion s = Wi;f =v, que puede expresarse, usando la regla de oro de Fermi, como 2O s = hv| j2(E) donde ji>= i bexp(i~k~r)=p . Notese que la dependencia explcita en O se cancela. Para el caso de la interaccion fuerte, por ejemplo, en una colision proton-neutron a 10 MeV, se tiene s . 2fm2 =0:02barn. Para la interaccion electromagnetica, por ejemplo, en una colision electron-proton a 10 MeV, esta estimacion dar ia s . 2 10..8fm2, aunque · se esta ignorando el largo alcance de la interaccion culombiana, por lo cual este valor es muy inferior al real. Para la interaccion debil, por ejemplo en un proceso neutrinoneutron para dar electron y proton, con 10 MeV, se obtiene s . 2 10..16fm2 . · La seccion e caz puede relacionarse con el recorrido libre medio, por la expresion . =1=n, donde n es el numero de nucleos por unidad de volumen, que es, para la materia solida normal, n . 10..15fm..3 . Se obtiene, para la interaccion fuerte, f . 1m, que corresponde al recorrido libre medio de un neutron. Sin embargo, para la interaccion debil, se tiene w . 1014m, que es mucho mayor que el radio de la tierra . 107m. La estimacion del recorrido libre medio para la interaccion electromagnetica no es realista ya ´ que, ademas de ignorar el largo alcance de la interaccion, no considerar ia el efecto de la interaccion con los electrones. 20 2.4 Problemas 1) Demostrar que, para que exista un estado ligado proton-neutron con un potencial de interaccion de tipo pozo cuadrado, V (r)= ..V0;r < R ; V (r)=0;r > R siendo µ la masa reducida proton-neutron, debe cumplirse que 2h2 V0R2 = 8 . Nota: La funcion de onda radial l(r) puede escribirse como ul(r)=r, donde ul(r) debe satisfacer la ecuacion: h2 d2 h2l(l + 1) ..2µ + V (r)+ 2rul(r)= ..Bul(r). dr22 Considerar el caso l =0y B . V0. 2) Demostrar que la densidad de estados correspondientes a la emision de una partcula relativista de masa m con una energa total E en un volumen V viene dada por 4V E(E2 24)1=2 (E)= hc)3 - mc (2 Obtener como casos lmites la expresion ultrarrelativista E . mc2 y la no relativista Ec = E - mc2 . mc2 . 3) Obtener la densidad de estados para la emision de dos partculas relativistas a partir del decaimiento de una partcula de masa M(A) en otras dos de masas M(B)y M(C) 4) Obtener la densidad de estados correspondiente al decaimiento del K+ en a) ++0 , b) + + . Teniendo en cuenta que la vida media del K+ es 1:2386 10..8s, y que el proceso a) · ocurre en el 21.16 %, y el b) en el 63.51 % de los casos, obtener las probabilidades de decaimiento de los dos procesos por unidad de tiempo. Obtener, a partir de la regla de oro de Fermi, los elementos de matriz de la interaccion que generan estos decaimientos. Inferir que interaccion (fuerte, electromagnetica o debil) es responsable del decaimiento. 21 Chapter 3 Propiedades de las partculas elementales 3.1 Introduccion La descripcion relativista de las interacciones implica que cada interaccion lleva asociada el intercambio de una partcula, que debe ser un boson. En el caso de la interaccion electromagnetica, la partcula intercambiada es el foton. En general, el alcance de la interaccion esta asociada con la masa de la partcula intercambiada. Puede demostrarse que, si una interaccion entre partculas de masa M, esta generada por el intercambio de una partcula de masa m . M, la interaccion puede describirse en el lmite no relativista como un potencial de la forma V (r)= V0 exp(r=)=(r=), donde . = h=mc. on, que se demuestra estrictamente en Teora Cu Esta expresiantica de Campos, puede interpretarse de la forma siguiente. Para crear una partcula de masa m, se necesita una energa mc2 . De acuerdo con el principio de indeterminacion, esta energ= h=(mc2), y durante a puede crearse durante un tiempo su cientemente corto, t  este tiempo, la partcula puede viajar una distancia dada por . = c =h=(mc), que es el alcance de la interaccion. Como la interaccion fuerte tiene un alcance . 1fm, debe llevar asociada una 2 . partcula de masa mc. 200MeV . Este argumento, planteado por Yukawa, llevo a la busqueda de partculas de masa intermedia entre el proton y el electron. Esta busqueda se llevo a cabo primeramente analizando los rayos cosmicos, ya que en aquellas fechas (1940-1950) no se haban desarrollado aceleradores de partculas con energa su ciente. El estudio de los rayos cosmicos se realizaba en las camaras de niebla, en las que las partculas que componen los rayos cosmicos atraviesan un volumen con vapor de agua sobresaturado. Las partculas con carga electrica producan una cierta ionizacion del aire, lo cual provocaba la condensacion del vapor de agua a lo largo de la trayectoria. Situando la camara de niebla en campos electricos y magneticos, y estudiando la curvatura de las ´ trayectorias, poda conocerse la carga electrica, la energa y la masa de las part iculas. Por otro lado, muchas de las partculas asi detectadas eran inestables, y se descomponen en otras partculas. Estudiando la longitud de las trazas que dejaban las partculas en la camara de niebla, poda deducirse su vida media. La primera partcula que se detecto de esta forma fue el muon , cuya masa (105.6 MeV) poda ser compatible con la de la partcula predicha por Yukawa. No obstante, se encontro que la forma en la que interactuaba con las partculas de la camara de niebla 22 indicaba que no interactuaba mediente la interaccion fuerte. Esto es incompatible con que fuera la partcula de Yukawa. El muon tiene carga electrica negativa y se comportaba a todos los efectos como un electron de masa mas grande. Por otro lado, el muon es inestable, y se descompone en un tiempo de 2:2 10..6 s en un electron y dos partculas · indetectables (neutrinos). El tiempo de vida del muon sugera que su decaimiento se produce por la interaccion debil. Posteriormente, se descubrio el pion, que apareca con carga electrica positiva + , negativa - o neutra 0 . La masa del pion es de 139.6 MeV para + y .., y de 135.0 MeV para 0 . El pion si interactuaba fuertemente con protones y neutrones, por lo que corresponda a la partcula de Yukawa. La vida de + y - es de 2:6 10..8 s, · descomponiendose principalmente en un muon (o anti-muon) y un neutrino, mediante la interaccion debil. El 0 se descompone en dos fotones en un tiempo de 8:4 10..17 s, por · la interaccion electromagnetica. Mas adelante se encontraron los kaones K+;K..;K0 ;K 0, cuya masa es de 493.7 MeV para K+;K.., y de 497.7 para K0 ;K 0 . K+ y K- se descomponen principalmente en muon y neutrino, o en dos piones, con un tiempo de vida de 1:2 10..8 s, mientras que los · kaones neutros decaen en dos o tres piones, con semividas de 0:89 10..10sy5:2 10..8s. · Estos decaimientos ocurren por la interaccion debil. Notese que resultaba paradojico que los kaones, que sienten la interaccion fuerte, tal como se deduce de sus secciones e caces, decaen en piones (que tambien sienten la interaccion fuerte) mediante la interaccion debil. Por ello, a los kaones se les considero partculas \extra~nas". Con masas superiores a la del proton, se encontraron partculas, llamadas hiperones. Entre estas partculas esta la , de masa 1115.7 MeV y vida 2:6 10..10 s, que decae · principalmente en nucleon (proton o neutron) y pion, por interaccion debil. Esta es tambien una partcula \extra~na". La +, de masa 1189.4 MeV y vida 2:6 10..10 s, que · decae principalmente en nucleon y pion, por interaccion debil. La .., de masa 1197.4 MeV y vida 1:5 10..10 s, que decae principalmente en nucleon y pion, por interaccion · debil. La 0, de masa 1192.6 MeV y vida 7:4 10..20 s, decae en . y foton por interaccion · electromagnetica. Las \cascadas” 0, de masa 1314.9 MeV y vida 2:90 10..10 sy.., de · masa 1321.3 MeV y vida 1:60 10..10 s, decaen en . y pion, por interaccion debil. · Estas, junto con el proton, neutron, electron y neutrino, y sus antipartculas, eran las partculas conocidas en 1956. Posteriormente, con el advenimiento de los aceleradores, se descubrieron otras muchas partculas, por lo cual se vio la necesidad de clasi carlas. 3.2 Leptones Se caracterizan porque no sienten la interaccion fuerte. El electron, el muon y el tau tienen carga electrica negativa. Los neutrinos tienen carga nula. Todos tienen espn 1/2, y son, por tanto, fermiones. Para cada partcula existe su antipartcula. El momento magnetico, en unidades de e h=2m, es 1 en la teora de Dirac para una partcula elemental con espn 1/2 y carga e. La desviacion con respecto a 1 del valor experimental se explica, con todas sus cifras signi cativas, teniendo en cuenta las correcciones radiativas que aparecen el la electrodinamica cuantica. Por tanto, los leptones se consideran partculas elementales. Los neutrinos no sienten la interaccion electromagnetica, porque tanto su carga como su momento magnetico es cero. Solamente sienten la interaccion debil. Los neutrinos tienen masa nula (ver los lmites en la tabla). Por tanto, se mueven a la velocidad 23 de la luz. En la teora de Dirac, se describen por espinores de dos componentes, que corresponden a tener una helicidad (proyeccion del espn en la direccion del movimiento) bien de nida. De hecho, los neutrinos que se observan en la naturaleza tienen helicidad negativa (s = J~p^= ..1=2), mientras que los anti-neutrinos tienen helicidad positiva. La · helicidad es invariante frente a transformaciones de Lorentz solamente para partculas que se mueven a la velocidad de la luz. Si los neutrinos tuvieran masa no nula, se moveran a velocidades inferiores a la de la luz, con lo cual la helicidad dependera del sistema de referencia. Los neutrinos, al tener masa nula, son necesariamente estables. Por un lado, no hay una partcula mas ligera a la que puedan decaer, y por otro lado, aunque su tiempo propio fuera nito, como se observan desde un sistema con respecto al cual se mueven a la velocidad de la luz, la dilatacion del tiempo de Lorentz hara que ese tiempo apareciera como in nito. Si se encontrara una masa no nula para los neutrinos, quizas podran observarse transiciones de un tipo de neutrino a otro. El electron es la partcula mas ligera con carga electrica. La conservacion de la carga electrica exige que el electron sea estable. El muon decae por interaccion debil en e..+e+. Se sabe que se emiten dos neutrinos porque el electron que aparece tiene una distribucion de energas consistente con la teora de Fermi. El proceso - e- + . no se observa experimentalmente (su probabilidad es ! menor que 4:9 10..11). Si este proceso fuera el mas importante, nos llevara a considerar · que el muon es un estado excitado del electron. Este no es el caso. Por contra, el valor del momento magnetico del muon nos lleva a considerar que el muon es una partcula elemental. El tau, al tener una masa relativamente grande, puede decaer, por interaccion debil, en muchas combinaciones de partculas, aunque siempre se produce un t . Las formas mas probables de decaimiento son: e- +e + t (17.4%), - +µ + t (17.6%), . ! - + t (10.1%), - + t (21.8%). . ! En los procesos de interaccion debil, cuando desaparece un electron, un muon o un tau, aparece el neutrino correspondiente. Por otro lado, tambien ocurren procesos (como el decaimiento beta) en los que se crea un electron (muon o tau) y el anti-neutrino correspondiente. Ello lleva a introducir unos numeros cuanticos, los numeros leptonicos, que se conservan en la interaccion debil. Estos son: • Numero leptonico electronico (Le): Vale 1 para e- y e, -1 para e+ ye, y 0 para el resto de partculas. • Numero leptonico muonico (L): Vale 1 para - y , -1 para + y, y 0 para el resto de partculas. • Numero leptonico tauonico (Lt ): Vale 1 para - y t , -1 para + yt , y 0 para el resto de partculas. La interaccion electromagnetica no afecta a los neutrinos, pero puede aniquilar o producir parejas lepton-antilepton, con lo que conserva los numeros leptonicos. La interaccion fuerte no actua sobre los leptones, por lo que conserva trivialmente los numeros leptonicos. Hasta ahora no hay evidencias de la violacion de los numeros leptonicos, lo cual esta relacionado con la masa nula de los neutrinos. Si se encontrara que los neutrinos tienen 24 masa no nula, podran darse procesos, tanto mas improbables cuanto menor fuera la masa de los neutrinos, de violacion del numero leptonico. Lepton (Julio 2000) masa(MeV) (eh=2m) (s) e 0.510998902(21) 1.001159652187(4) Estable µ t e µ t 105.658357(5) 1777.03(28) 0 (< 3 · 10..6) 0 (< 0:19) 0 (< 18:2) 1.0011659160(6) 1.003(55) 0 (< 1:8 · 10..10) 0 (< 1:5 · 10..7) 0 (< 1:8 · 10..3) 2:19703 · 10..6 2:906 · 10..13 Estable Estable Estable 3.3 Hadrones Sienten la interaccion fuerte. Pueden dividirse en mesones (bosones, con espn entero), y bariones (fermiones, con espn semi-entero). Para describirlos se utilizan los numeros cuanticos siguientes: 3.3.1 Numero barionico Se introduce para justi car el hecho de que el proton sea estable, y que otras partculas (neutron, , , ..) decaen al proton. Se asigna B=1 al proton y a los hadrones que decaen en el, B=-1 a sus antipartculas, y B=0 a los hadrones que no decaen al proton. Empricamente, se encuentra que los bariones tienen B=1, sus antipartculas (anti-bariones) tienen B=-1, y los mesones tienen todos B=0. Hasta ahora, no hay evidencias de que se viole la conservacion del numero barionico. La vida media del proton es superior a 1031 a~nos. Si embargo, las teoras de gran uni cacion predicen que el proton tiene una vida nita, aunque muy larga. 3.3.2 Extra~neza Se introduce para explicar el hecho de que algunos hadrones (K, , , :::), tengan vidas relativamente largas, lo cual implica que no decaen a otros hadrones mas ligeros (p, ) por la interaccion fuerte o la electromagnetica, sino por la debil. Por otro lado, los experimentos de la camara de niebla indicaban que estas partculas se producen con secciones e caces consistentes con la interaccion fuerte. Esto era una aparente paradoja, ya que estas partculas \extra~nas” sentan la interaccion fuerte cuando eran producidas, pero no parecan sentirla cuando decaan. La solucion de la paradoja surgio de la observacion de que las partculas extra~nas aparecen por parejas. Se introdujo un numero cuantico S, que deba ser conservado por la interaccion fuerte y electromagnetica, pero podia ser violado por la interaccion debil. S vale cero para los hadrones \normales” (p, n, ), y se le asigno el valor S=1 para los kaones K0 y K+ . Debido a la conservacion de S por la interaccion fuerte, en los procesos de colision entre hadrones normales que produjeran K0 o K+, la otra partcula extra~na debe tener S= 1. Asi se asigno S=-1 para K 0;K.., , + , .., 0 . Las cascadas 0 , - tienen S=-2. Las antipartculas tienen extra~neza opuesta a las partculas, para que puedan aniquilarse con ellas sin violacion de S. Cuando un hadron con extra~neza S decae, si existen otros hadrones mas ligeros a los que pueda decaer conservando S (ademas de la carga y el numero barionico), entonces el decaimiento sera rapido, pues ocurre por interaccion fuerte 25 o electromagnetica (p. ej. 0 . + ). Si este no es el caso, el decaimiento ocurrira por la interaccion debil, que puede cambiar la extra~neza en una unidad (en primer orden). Formalmente, el numero cuantico S puede considerarse como el autovalor de un operador S, que conmuta con el hamiltoniano fuerte [Hf , S] = 0 y electromagnetico [Hem, S]= 0. No obstante, el hamiltoniano debil no conmuta con S:[Hd, S] = 0. Los hadrones son autoestados de S correspondientes a un autovalor S. Como el operador S es aditivo, un sistema de hadrones es un autoestado de S cuyo autovalor es la suma de los valores de S de los hadrones. Por ello, el hamiltoniano fuerte y el electromagnetico solo conectan estados (sistemas de partculas) con la misma extra~neza. 3.3.3 Isospn. Se introduce a partir del hecho de que los hadrones aparecen en grupos de partculas, llamados multipletes, con masa muy parecida, y con propiedades muy similares (mismo espn, paridad, numero barionico, extra~neza), excepto que tienen carga electrica que vara de uno en uno. Por ejemplo, estan el proton y el neutron, los piones (+;0;..), etc. Para describir este hecho, se de nen tres operadores, I+, I.., I3, que cumplen las reglas de conmutacion de un momento angular. I3 esta relacionado con la carga electrica, y puede escribirse como I3 = ..Y=2+ Q=e, donde Y es una constante para cada multiplete llamada hipercarga, que es dos veces la carga media del multiplete. Gell-Mann y Nishijima encontraron empricamente que la hipercarga estaba relacionada con la extra~neza y el numero barionico a traves de la relacion Y = B + S. Las partculas de un multiplete son autoestados de I3. As, para los nucleones, Y=1, I3jp>=1=2jp> y I3jn>= ..1=2jn>. Para los piones, Y=0, I3j+ >= +1j+ >, I3j0 >=0j0 >, I3j- >= ..1j- >. I+ actuando subre una partcula, la convierte en otra de carga superior perteneciente al multiplete: I+jn>= jp>, I+jp>= 0. I- disminuye la carga de la partcula. Por analoga con el momento angular, todas las partculas del multiplete son autoestados del operador I2 =1=2(I+I- + I..I+)+ I3 2 correspondientes a un autovalor I(I + 1). I, que es el isospn del multiplete, esta relacionado con el numero de partculas en el multiplete, que es 2I + 1. La introduccion del isospn permite considerar que las partculas de un multiplete son, a todos los efectos, partculas identicas, que, ademas de venir caracterizadas por su funcion de onda orbital y su funcion de onda de espn, tienen una funcion de onda de isospn. As, el proton es un estado del nucleon tal que su funcion de onda de isospn es autoestado del operador I3 correspondiente al autovalor I3 =1=2, y el neutron es un estado del nucleon cuyo autovalor es I3 = ..1=2. Como las partculas de un multiplete tienen masas parecidas, se considera que, del hamiltoniano total que describe las partculas, H = Hf +Hem +Hd,[Hf ;~I] = 0, indicando que la interaccion fuerte conmuta con todas las componentes del isospn. Por otro lado, las diferencias de masas entre las partculas de un multiplete son del orden del MeV, lo cual indica que la interaccion electromagnetica no conmuta con los operadores I. Sin embargo, si conmuta con I3, ya que conserva la carga electrica, el numero barionico y la extra~neza. La interaccion debil no conserva ninguna de las componentes del isospn. En general, si solo existiera la interaccion fuerte, los hadrones de un mismo multiplete tendran exactamente la misma masa, y corresponderan a autoestados degenerados del hamiltoniano. La interaccion electromagnetica rompe esta degeneracion, desdoblando las masas del multiplete en funcion del valor de I3. La interaccion debil tiene un efecto 26 mnimo sobre las masas, siendo responsable de los decaimientos. 3.3.4 Isospn de sistemas de partculas El isospn total de dos partculas A y B se obtiene de la forma siguiente: la partcula A tiene unos valores del isospn y su tercera componente dados por IA;I3A. Por tanto, el ket que caracteriza el estado interno de la partcula A puede escribirse como jA>= j IAI3A >, donde a calracteriza los numeros cuanticos necesarios para caracterizar el multiplete de partculas al que pertenece A, y I3A especi ca que partcula es A dentro de su multiplete, determinando su carga electrica. Analogamente, jB>= j IBI3B >. El sistema AB puede describirse como el producto de una funcion de onda que describa el movimiento de A y B, por una funcion de onda que describa sus espines, por una funcion de onda interna, Esta  ultima puede escribirse como jA;B >= j IAI3A, IBI3B >= IT ;I3T j IA, IB; IT ;I3T > Por tanto, el sistema AB viene descrito por una combinacion de valores de IT que van de jIA - IB| a IA + IB. Esta combinacion viene determinada por los coe cientes de Clebsh-Gordan. Si las partculas pertenecen al mismo multiplete de isospn, entonces los valores del isospn total quedan restringidos por la exigencia de que la funcion de onda debe ser simetrica frente al intercambio de todas las variables de las partculas, en el caso de bosones, y antisimetrica en el caso de fermiones. Sea un sistema de dos partculas A y B, pertenecientes a un multiplete , con espn S e isospn I. Las partculas tienen un momento angular orbital relativo L, y un espn total ST , y consideramos la componente de su estado en la que su isospn total es IT . Frente al intercambio de las partculas, la funcion de onda orbital se modi ca en un factor (..1)L . ´ La funcion de onda de esp in, por las propiedades de los coe cientes de Clebsh-Gordan, se modi ca en un factor (..1)(ST ..2S). La funcion de onda de isospn, analogamente, se modi ca en un factor (..1)(IT ..2I). El producto de todos estos factores debe ser +1 para bosones y ..1 para fermiones. Teniendo en cuenta que S es semientero para fermiones y entero para bosones, resulta que, en ambos casos, debe cumplirse que L + ST + IT - 2I sea par. 3.4 Partculas estables y resonancias. En fsica de partculas se distingue entre \partculas estables” y \resonancias". Las primeras son estables o decaen por interaccion debil o electromagnetica. Por ello, tienen vidas medias relativamente largas que permiten su observacion directa. Las segundas decaen por interaccion fuerte. Tienen vidas muy cortas, y aparecen como resonancias (maximos en la seccion e caz) en las colisiones de las partculas en las que decaen, a energas correspondientes a la masa de la partcula descrita por la resonancia. Partculas estables (Julio 2000). 27 Mesones I S Jp I3 masa(MeV) vida (s) Deca. ± 1 0 0- 1 139.57018 2.6033 10..8 µ + µ 0 1 0 0- 0 134.9766 8.4 10..17 2. . 0 0 0- 0 547.30 6.3 10..19 2. K+(K..) 1/2 1(-1) 0- 1=2(..1=2) 493.677 1.2386 10..8 2, µ + µ K0( K0) 1/2 1(-1) 0- ..1=2(1=2) 497.672 0.8935 10..10 2p 5.17 10..8 3p Bariones I S Jp I3 masa(MeV) vida (s) Deca. p n 1/2 1/2 0 0 1=2+ 1=2+ 1/2 -1/2 938.27200 939.56533 1886.7 - p + e + e . 0 -1 1=2+ 0 1115.683 2:632 · 10..10 N + p + 1 -1 1=2+ 1 1189.37 0:8018 · 10..10 N + p 0 1 -1 1=2+ 0 1192.642 7:4 · 10..20 . + . - 1 -1 1=2+ -1 1197.449 1:479 · 10..10 N + p 0 1/2 -2 1=2+ 1/2 1314.83 2:90 · 10..10 . + p - 1/2 -2 1=2+ -1/2 1321.31 1:639 · 10..10 . + p - 0 -3 3=2+ 0 1672.45 0:821 · 10..10 . + K Resonancias (solamente algunas se muestran en la tabla): Mesones I S Jp Masa(MeV) Anchura(MeV) Decaimiento (770) 1 0 1- 769.3 150.2 2p !(783) 0 0 1- 782.57 8.44 3p 0(958) 0 0 0- 957.78 0.202 2p (1020) 0 0 1- 1019.417 4.458 K K K(892)pm 1/2 1 1- 891.66 50.8 Kp K(892)0 1/2 1 1- 896.10 50.7 Kp Bariones I S Jp Masa(MeV) Anchura (MeV) Decaimiento (1242) 3/2 0 3=2+ 1232 120 Np (1405) 0 -1 1=2- 1406 50 p (1385)+ 1 -1 3=2+ 1382.8 35.8 p (1385)0 1 -1 3=2+ 1383.7 36 p (1385)- 1 -1 3=2+ 1387.2 39.4 p (1530)0 1/2 -2 3=2+ 1531.8 9.1 p (1530)- 1/2 -2 3=2+ 1535.0 9.9 p 3.5 Conservacion de numeros cuanticos En una reaccion entre partculas, o en el decaimiento de una partcula, se debe conservar siempre la energa y el momento. Por ejemplo, un foton aislado no puede crear un par e..e+, o viceversa. Tambien debe conservarse el momento angular total. Ello hace que en el decaimiento de un fermion, con espn semientero, deban aparecer un numero impar de fermiones, mientras que en el decaimiento de un boson deban aparecer un numero par (incluido el cero) de fermiones. Estas leyes de conservacion estan asociadas a la invariancia del sistema frente a transformaciones de Lorentz. 28 Tambien deben conservarse siempre la carga electrica Q, el numero barionico B, y los numeros leptonicos Le;L;Lt . Estas leyes de conservacion son leyes empricas, y pudiera ser que se violaran, pero con una probabilidad muy peque~na, por debajo de los lmites experimentales. La conservacion de la carga electrica tiene una consideracion especial, ya que esta asociada a una simetra Gauge que genera la interaccion electromagnetica. Los procesos que ocurren por interaccion fuerte o electromagnetica conservan la extra~neza. Ello hace que la suma de los valores de S de las partculas iniciales en una reaccion debe ser igual a la de las partculas nales (los leptones y los fotones se toman con S=0). Los procesos debiles pueden cambiar (o no) la extra~neza. Se observa empricamente que los procesos que ocurren en primer orden por la interaccion debil cumplen que S = 1, 0. Los procesos que ocurren por interaccion fuerte conservan el isospn. Eso quiere decir no solo que conservan I3, sino que conservan el isospn total I. Para que una partcula C pueda decaer el A y B conservando el isopn total, debe ocurrir que los isospines de A y B puedan acoplarse al de C, o sea, que jIA - IBj= IC (IA + IB). Por otro lado, para que de la colision de A y B puedan surgir las partculas C y D conservando el isospn total debe haber al menos un valor de IT que pueda obtenerse acoplando tanto IA e IB, como IC e ID. Los procesos que ocurren por interaccion electromagnetica conservan I3, pero no conservan I. En los procesos en primer orden en la interaccion electromagnetica, I = 1, 0. En los procesos debiles, no se conserva I3 ni I. No obstante, se encuentra que, en los procesos en primer orden en la interaccion debil, si S = 1, I = 1=2, y si S = 0, I = 1, 0. 3.5.1 Relacion entre las probabilidades de decaimiento La conservacion del isospn permite relacionar las probabilidades de los procesos que ocurren por interaccion fuerte entre partculas que pertenecen a multipletes determinados. Si una resonancia C, descrita por jC>= jIC I3C > decae en dos hadrones A y B por interaccion fuerte, la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo puede escribirse como 2p P (C . A + B)= | j2 h AB(E) El elemento de matriz del hamiltoniano puede expresarse usando el desarrollo del estado jAB >, de forma que: = < IC I3C IA, IB; IT ;I3T > jHf jIT ;I3T jjHf j La conservacion del isospn implica que IC = IT , I3C = I3T . Por otro lado, como [Hf ;I]= 0, los elementos de matriz deben ser independientes de I3. Por tanto, resulta =< IC jjHf jj IA, IB; IT > La doble barra es una notacion que se introduce para indicar que no es necesario especi car I3C, porque el elemento de matriz es independiente de el. Por otro lado, la densidad de estados depende de la energa cinetica de A y B, que, a su vez, depende de las masas de A, B y C, pues Ec = m(C) - m(A) - m(B). Como las masas de las partculas del multiplete son muy parecidas, puede escribirse AB(E) .  (E), donde  (E) es una densidad de 29 estados promedio para todas las partculas del multiplete. Por tanto, la probabilidad de decaimiento puede escribirse como: 2p P (C . A + B)= | j2| < IC jjHf jj IA, IB; IT > j2 h  (E) Esta expresion indica que la probabilidad de decaimiento de las resonancias C de un multiplete . en distintas partculas A de un multiplete a y B de , es proporcional al coe ciente de Clebsh-Gordan al cuadrado. 3.5.2 Relacion entre secciones e caces En un proceso de colision que ocurre por la interaccion fuerte, por el cual A+BD +E, ! la seccion e caz viene dada por 2O (A + B . D + E)= | j2DE(E) (3.1) hv j DE(E) depende de la energa cinetica nal de D y E, en su sistema centro de masas, que viene dada por Ec = E - m(D) - m(E). Sustituyendo DE(E) por un promedio para las partculas del multiplete, la seccion e caz depende del cuadrado del elemento de matriz del hamiltoniano. Los estados jAB > y jDE > pueden desarrollarse en funcion de estados con isopn total IT ;I3T . Los elementos de matriz del hamiltoniado son diagonales en IT ;I3T , y por otro lado son independientes de I3T . Por tanto, resulta < ABjHf jDE > = < IT ;I3T jIDI3D;IEI3E > IT ;I3T < IA, IB; IT jjHf jjID, IE; IT > A partir del conocimiento de unos pocos elementos de matriz reducidos, correspondientes a los valores de IT a los que pueden acoplarse tanto IA e IB como ID e IE, pueden obtenerse todas las secciones e caces de las colisiones de partculas del multiplete a con las del ß para dar partculas del d y el . Cuando la energa total en el sistema centro de masas esta cercana a la masa de una resonancia C, el proceso ocurre de forma secuencial segun A + BCD + E. En este !! caso, la contribucion correspondiente a IT = IC es dominante, y la seccion e caz aumenta considerablemente. 3.6 Problemas 1) Considerar las sigientes reacciones, que ocurren con secciones e caces compatibles con la interaccion fuerte: - + p + K0 . 0 + p + K+ . - + p 0 + K0 . - + p - + K+ . 30 + + p + + K+ . - + p - + K0 + K+ . - + p 0 + K0 + K0 . + + p 0 + K+ + K+ . - + pn + K+ + K.. . - + pn + K0 + K0 . Partiendo de que, por convenio, se toma que S(p)= S(n)= S() = 0, y S(K+) = 1, deducir los valores de la extra~neza de las otras partculas. Obtener la energa cinetica mnima inicial en el sistema centro de masas para que pueda producirse la reaccion en cada caso. 2) Considera las reacciones siguientes: p+ p+ + - + 0 . p + K- + + - + 0 . p + K- n + K+ + .. . µ + pµ + + n . e + pe + +. . - t + K.. . 0 . + . e + + e- + + .. . Comprobar si se conservan los numeros cuanticos aditivos relevantes. Indicar si es posible la reaccion, y que interaccion (fuerte, electromagnetica o debil) la produce. 3) Obtener los estados de isospn de los pares de partculas siguientes: +p, +n, 0p, 0n, ..p, ..n. Comprobar que estos estados son ortogonales, y que forman una base de los estados j(N)II3 >. 4) Obtener la expresion de las secciones e caces siguientes en terminos de los elementos de matriz reducidos relevantes. Deducir las expresiones que relacionan las secciones e caces. Si la energa total en el sistema centro de masas es cercana a 1230 MeV (resonancia ), >como seran estas relaciones? a)+ + p+ + pb)+ + n+ + n !. c)+ + n0 + pd)0 + p+ + n !. e)0 + p0 + pf)0 + n0 + n !. g)0 + n- + ph)- + p0 + n !. i)- + p- + pj)- + n- + n !. 5) Obtener la expresion de las secciones e caces siguientes en funcion de los elementos de matriz reducidos, y la relacion entre ellos. a)0 + p + K+ b)+ + n + K+ !. 31 c)0 + n + K0 d)- + p + K0 !. e)- + n + K.. . 6) El principio de Pauli generalizado puede enunciarse diciendo que un sistema de nucleones (protones y neutrones) viene descrito por una funcion de onda que sea antisimetrica frente al intercambio de las variables orbitales, de espn y de isospn de dos nucleones cualesquiera. Partiendo de ello, deducir que el deuteron (Jp =1+) tiene I=0. 7) Obtener la funcion de onda de isosp in de un sistema +- con un momento angular relativo L. Hacer lo propio para un sistema 00 con momento angular L. ż Son posibles todos los valores de L? 8) Considera un sistema de tres piones +..0 y 000 con momento angular total interno 0. Obtener la funcion de onda de isospn. Nota: El momento angular total interno es la composicion del momento angular relativo de dos piones (por ejemplo, +..) L12, con el del tercero con respecto al centro de masas de los otros dos L3. 32 Chapter 4 Interacciones en una teora cuantica de campos En una teora cuantica de campos, las partculas libres y sus interacciones se describen a partir de la densidad lagrangiana L. Esta densidad es una funcion de los campos asociados a las partculas interactuantes (x); (x);A(x), que a su vez son funciones de x =(~r, ict), y de sus derivadas @µ = @=@x. En segunda cuantizacion, los coe cientes del desarrollo de Fourier de los campos (x); (x);A(x), corresponden a operadores que crean o aniquilan partculas de momento determinado. En concreto, (x) aniquila mesones de espn cero, o crea sus anti-partculas, y (x)* hace lo contrario. (x) aniquila fermiones de espn 1/2, o crea sus anti-partculas, y (x)* hace lo contrario. A(x) aniquila o crea fotones de espn uno. La forma del lagrangiano sin interaccion, tomando h = c = 1, es la siguiente: Bosones de espn 0 (mesones). El campo asociado a una partcula de espn cero (x) es una funcion escalar (invariante de Lorentz) de x. La densidad lagrangiana para estas partculas viene dada por: L = ..@(x)@(x) - m 2(x)(x) Utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange, se obtiene la ecuacion de Klein-Gordon @2 (x) - m 2(x)=0 que corresponde a una partcula de masa m, (E2 - p 2 - m 2)(x)=0. Por otro lado, si buscamos soluciones estacionarias a la ecuacion de Klein-Gordon, una solucion regular en todo el espacio salvo en el origen es: (x)= C exp(..rm)=r Si se introducen explh y c, se tiene (x)= Ch=mc))=r, citamente los factores hc exp(..r=( que corresponde al potencial de Yukawa. El analisis dimensional de estas ecuaciones indica que [x]= E..1,[@]= E,y[L]= E4 . Por tanto, f tiene dimensiones de E. Fermiones de espn 1/2. 33 El campo asociado a una partcula de espn 1/2 (x) es un espinor de cuatro componentes. La densidad lagrangiana para estas partculas viene dada por: L = .. (x)(@µ + m) (x) Utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange, se obtiene la ecuacion de Dirac @ (x) - m (x)=0 El analisis dimensional indica que . tiene dimensiones de E3=2 . Bosones de espn 1. El campo asociado a una partcula de espn 1 A(x) es un cuadrivector de cuatro componentes. La densidad lagrangiana para estas partculas viene dada por: L = ..1=4(@A(x) - @. A(x))2 - 1=2m 2(A(x))2 El lagrangiano del campo electromagnetico se obtiene poniendo m=0. En este caso, utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange, se obtienen las ecuaciones de Maxwell, en ausencia de fuentes @(@A. (x) - @A(x)) = 0 El analisis dimensional indica que Aµ tiene dimensiones de E. 4.1 Interaccion fuerte Describe el acoplamiento de los bariones con los mesones, o bien de los mesones entre s. La forma de la densidad lagrangiana de interaccion para bariones de espn 1/2 con mesones de espn 0, requerida por la invariancia de Lorentz, viene dada por Lf = g(BM, C) C (x)M (x) B(x) donde g(BM, C) es una constante de acoplo adimensional asociada al proceso en que se aniquila un barion B y un meson M para crear un barion C. Las constantes de los procesos de interaccion fuerte son del orden de la unidad. La conservacion de los numeros cuanticos aditivos hace que, si los numeros cuanticos de C (extra~neza, etc) no son iguales a los de B mas los de M, g(BM, C) = 0. La conservacion del isospn implica que las constantes de acoplo de todas las partculas B,M,C pertenecientes a multipletes , , . pueden expresarse en funcion de una unica constante g( , ) como  g(BM, C)= g( , ) El efecto de la interaccion fuerte se describe mediante el calculo de los diagramas de Feynmann relevantes. A efectos de estimar las secciones e caces y las probabilidades de decaimiento, puede utilizarse la regla de oro de Fermi, teniendo el cuenta que el elemento de matriz del hamiltoniano pueden estimarse de forma grosera por las expresiones siguientes: • Procesos en que intervienen dos bariones reales y un meson real (un vertice): g (hc)3 'pEM O 34 • Procesos en que intervienen cuatro bariones reales y se propaga un meson virtual (dos vertices): g1g2 (hc)3 . E222 2 + i..M =2)2 M - pM c- (mM c donde EM y pM son la energa y el momento del meson virtual, que se obtienen usando la conservacion de la energa y el momento en cada vertice. mM es su masa, y..M su anchura. • Procesos en que intervienen dos bariones reales y dos mesones reales y se propaga un barion virtual (dos vertices): g1g2 1 (hc)3 . . EB 2 - pB2 c2 - (mBc2 + i..B=2)2 pEM1EM2 O donde EB y pB son la energa y el momento del barion virtual, que se obtienen usando la conservacion de la energa y el momento en cada vertice. mB es su masa, y..B su anchura. Cuando las condicones cinematicas de la colision son tales que para la partcula virtual que se propaga se cumple que E2 - p2c2 . c4m2, se produce un aumento muy importante en , que se traduce en un aumento en la seccion e caz. Esto permite estudiar las \resonancias". 4.2 Interaccion electromagnetica Describe el acoplamiento de corrientes generadas por campos fermionicos o bosonicos con el campo electromagnetico. Lem = eA(x)j(x) La forma de la corriente j(x) viene dado, para fermiones de carga e, por j(x)= i (x) (x) Para mesones de espn cero y carga e, viene dada por j(x)= i(x)@(x) La constante de acoplo e, en unidades naturales, vale 4=137:0359895 = 0:3028. Para describir el proceso electromagnetico 0 + , se toma . j(x)(0 , ) = iC(, ) (x) 0 (x) donde C(, ) es una constante de acoplamiento electromagnetico que se determina fenomenologicamente. Las corrientes tienen dimensiones de E3 . El efecto de la interaccion electromagnetica se describe mediante el calculo de los diagramas de Feynmann relevantes. A efectos de estimar las secciones e caces y las probabilidades de decaimiento, puede utilizarse la regla de oro de Fermi, teniendo el cuenta que el elemento de matriz del hamiltoniano pueden estimarse por las expresiones siguientes, en las que E es la energa total en el sistema centro de masas: 35 • Procesos en que intervienen dos fermiones reales y un foton real (un vertice): eC(F1;F2) (hc)3 . . E. O • Procesos en que intervienen cuatro fermiones reales y se propaga un foton virtual (dos vertices): e2 (hc)3 . E. 2 - p2 c2 O donde E. y p. son la energa y el momento del foton virtual, que se obtienen usando la conservacion de la energa y el momento en cada vertice. • Procesos en que intervienen dos fermiones reales y dos fotones reales y se propaga un fermion virtual (dos vertices): e2 1 (hc)3 . . EF 2 - c2pF 2 - (mF c2 + i..F )2 . E1E2 O donde EF y pF son la energa y el momento del fermion virtual, que se obtienen usando la conservacion de la energa y el momento en cada vertice. mF es su masa, y..F su anchura. 4.3 Interaccion debil La primera teora cuantica de campos de la interaccion debil fue desarrollada por Fermi. Describe el acoplamiento entre corrientes de leptones o de hadrones. Podemos distinguir: 4.3.1 Procesos leptonicos. Son los procesos en los que intervienen  unicamente leptones, como el decaimiento de un muon en electron y neutrinos. La densidad lagrangiana en este caso viene dada por: d GF j..elj+mu =  Lp2 donde j..el = i el(x)(1 - 5) n:el(x) µ crea un electron y un anti-neutrino electronico en este caso, por tanto crea una carga neta negativa, y jµ +mu = i n:mu(x)(1 - 5) mu(x) crea un neutrino muonico y aniquila un muon, por lo que crea una carga neta positiva. De esta forma, se construyen las corrientes jel;mu;tau . Las corrientes asi construdas conservan los numeros leptonicos. La carga electrica se conserva ya que solo se consideran productos de corrientes positivas y negativas. El operador 5 determina la quiralidad. Sus autoestados son +1, correspondiente a quiralidad positiva, y -1, correspondiente a quiralidad negativa. El factor (1 - 5) hace que solo los leptones con quiralidad negativa sientan la interaccion debil. La quiralidad esta relacionada con la helicidad cuando la 36 velocidad del fermion tiende a la de la luz. As, fermiones con quiralidad negativa corresponden a helicidad s = ..1=2, y antifermiones con quiralidad negativa corresponden a helicidad s = +1=2. Ello implica que solo los neutrinos con helicidad negativa y los antineutrinos con helicidad positiva sientan la interaccion debil y, por tanto, solo ellos pueden producirse o detectarse en procesos debiles. La constante GF =(hc)3 vale 1:16639 10..5GeV ..2,yes  unica para todos los procesos · debiles. 4.3.2 Procesos semi-leptonicos. Son procesos debiles en los que intervienen tanto hadrones como leptones. El ejemplo tpico es el decaimiento beta del neutron. Para describirlo, se utiliza una densidad lagrangiana dada por d = GF j..elj+n!p  Lp2 donde j..el viene dado por la expresion anterior, y np np jµ +n!p = i p(x)(gV!+ gA!5) n(x) np np gV!y gA!son constantes fenomenologicas, llamadas constantes vector y axial, que toman los valores 0.983 y -1.245. Los procesos debiles que violan la extra~neza, como el decaimiento beta de la , se describen de forma analoga, con otras constantes gV !p y g !p, que toman valores cuyo cociente gA=gV = ..0:718, y tales que g !p=gn!p = tanc, A VV donde c . 13. es el angulo de Cabibbo, que relaciona la intensidad de los procesos con  cambio de extra~neza con aquellos sin cambio de extra~neza. Los procesos semileptonicos en los que se crean o aniquilan mesones, por ejemplo, el decaimiento del .., se describen de forma analoga, tomando jµ +p = f@(x) donde fp es la constante de decaimiento debil del pion, que vale 128 MeV. 4.3.3 Procesos no-leptonicos. Son los procesos en los que solamente intervienen hadrones, como el decaimiento de la . en proton y pion. Por similitud con los casos anteriores, el lagrangiano puede escribirse como: d = GF j..jµ +!p Lp2 En este caso, todas las constantes estan determinadas por los procesos semileptonicos asociados, por lo que pueden hacerse comparaciones directas con medidas experimentales. Estas comparaciones avalan la validez de la descripcion. No obstante, el los procesos no leptonicos, la interaccion fuerte juega un papel muy importante, y puede modi car de forma importante los resultados del calculo que considere unicamente el efecto de la  interaccion debil. El efecto de la interaccion debil se describe mediante el calculo de los diagramas de Feynmann relevantes. A efectos de estimar las secciones e caces y las probabilidades de decaimiento, puede utilizarse la regla de oro de Fermi, teniendo el cuenta que el elemento de matriz del hamiltoniano pueden estimarse por las expresiones siguientes: 37 • Procesos en que intervienen cuatro fermiones reales (un vertice): GF (hc)3 . (hc)3 O • Procesos en que intervienen dos fermiones reales y un meson real (un vertice): GF . (hc)3 . (hc)3 fM EM O donde fM es la constante de decaimiento debil del meson, y EM su energa. 4.3.4 Teora del boson vectorial intermedio. La teora de Fermi del decaimiento debil viene caracterizada por una constante GF , que no es adimensional. Ello hace que la teora no sea renormalizable, y no pueda llevarse mas alla del primer orden. No obstante, la estructura del lagrangiano sugiere que la interaccion entre dos corrientes puede ser considerada como un proceso de segundo orden en el cual una corriente se acopla a un campo asociado a un boson vectorial (de espn uno), y este campo se acopla a la otra corriente. El boson vectorial intermedio tiene una masa muy alta, de forma que, en procesos de baja energa, aparece como una partcula virtual durante un tiempo muy corto. As, la interaccion debil se describe como el acoplamiento con dos campos conjugados, Wµ y Wµ * tales que Wµ aniquila una partcula de masa mW de carga negativa, o crea su antipartcula, mientras que Wµ * hace lo contrario. El decaimiento del neutron, por tanto, vendra descrito por un proceso de segundo orden, en el cual primero el neutron decae en un proton y una partcula virtual W .., mediante el termino del lagrangiano Ld = pgw 8 W(x)j+n!p(x) µ y luego la partcula W - decae en electron y antineutrino, por Ld = pgw 8 W(x)j..el(x) µ El factor p8 se introduce para que esta expresion sea equivalente a la que se obtiene en la teora electrodebil. La relacion de GF con gw viene dada por GF g2 = : 2 p28mwW esta expresion implica que si gw es del orden de e, entonces mW es del orden de 37 GeV. El boson vectorial W ± ha sido detectado, y su masa es de 80.41 GeV. Por tanto gw =0:6531 >e. Podra decirse que la interaccion debil es mas \fuerte” que la electromagnetica, pero se ve reducida por el hecho de que su boson intermediario (el W ) es mucho mas masivo que el foton. No obstante, en procesos que ocurren a energas altas, la interaccion debil compite con la electromagnetica, y los neutrinos interaccionan con la materia tanto o mas que los electrones. 38 En principio cabra la posibilidad de que existan corrientes neutras, en las que, por ejemplo, un neutrino fuera dispersado por un proton o un neutron, sin convertirse en electron. Estos procesos estaran asociados a un boson intermedio de carga nula, el Z0 . Con el desarrollo de los aceleradores, fueron encontrandose indicios de la existencia de estas corrientes debiles neutras. 4.4 Problemas 1) Considerar las sigientes reacciones, que ocurren con secciones e caces compatibles con la interaccion fuerte: - + p + K0 . 0 + p + K+ . - + p 0 + K0 . - + p - + K+ . + + p + + K+ . - + p - + K0 + K+ . - + p 0 + K0 + K0 . + + p 0 + K+ + K+ . - + pn + K+ + K.. . - + pn + K0 + K0 . Obtener los diagramas de Feynmann mas simples para los procesos anteriores debidos a la interaccion fuerte. Evaluar los valores de las constantes de acoplo de los vertices ´ atendiendo a la conservacion del isop in. 2) Considera las reacciones siguientes: p+ p+ + .. . p + K- + + .. . p + K- n + K0 . µ + pµ + + n . e + pe + +. . - t + K.. . e + + e- µ + + .. . a) Indicar que procesos ocurren por interaccion fuerte, electromagnetica y debil. b) Obtener en cada caso el diagrama de Feynmann mas simple que contribuye a la reaccion. c) Obtener cual es la energa cinetica mnima de las partculas iniciales en el sistema centro de masas para que ocurra la reaccion. Para este caso, obtener las energas y momentos de las partculas nales, y de la partcula virtual, en su caso. d) Estimar el elemento de matriz del hamiltoniano. 39 Chapter 5 Simetras discretas Un sistema tiene una simetra determinada cuando sus propiedades no se modi can cuando el sistema se somete a una transformacion determinada. Ejemplos de transformaciones son las traslaciones espaciales, las rotaciones, las traslaciones temporales, etc. Estas transformaciones son continuas, pues vienen determinadas por variables continuas (vector desplazamiento, angulo de rotacion, desplazamiento de tiempos). La simetra de un sistema frente a este tipo de transformaciones, lleva asociada la conservacion de una magnitud del sistema. Para los casos anteriores, estas son el momento lineal total, el momento angular total y la energa total. No obstante, existe otro tipo de transformaciones que son discretas. Estas son: Inversion espacial o paridad P Consiste en invertir el signo de todas las coordenadas de las partculas que componen el sistema: ~ri !..~ri. Por extension, supone que todos los vectores polares (como ~r o ~p) cambian de signo, mientras que los vectores axiales (como ~l = ~r × p~) no se modi can. La inversion espacial exige tomar un origen de coordenadas determinado, y, por tanto, la operacion inversion espacial depende de este origen. No obstante, si el sistema que consideramos es invariante frente a traslaciones, la eleccion del origen de coordenadas es irrelevante. Si el sistema no es invariante frente a traslaciones (por ejemplo, una partcula en un campo externo), pero es invariante frente a rotaciones en torno a un origen O (por ejemplo, un campo central), este origen es el que debe elegirse para realizar la inversion. La consecuencia de la invariancia de un sistema frente a inversion espacial es que la probabilidad de un proceso de colision es la misma de la del proceso obtenido mediante inversion espacial, es decir, cambiando de signo las posiciones y velocidades de todas las partculas participantes. Conjugacion de carga o paridad C Consiste en cambiar el signo de la carga electrica y de los demas numeros cuanticos aditivos de todas las partculas del sistema. Ello hace que todas las magnitudes derivadas de la carga (momento magnetico, campo electrico, campo magnetico, potencial vector) cambien de signo. La masa no es un numero cuantico aditivo. Para un sistema relativista, viene determinada por m2 = E2 - p~2 y es intrnsecamente positiva. Por tanto, no se modi ca por la conjugacion de la carga. La consecuencia de la invariancia de un sistema frente a conjugacion de carga es que la probabilidad de un proceso de colision que ocurre entre partculas es la misma del proceso que ocurre entre las antipartculas correspondientes. 40 Inversion temporal T Consiste en cambiar el signo del tiempo. Hace que las magnitudes derivadas (velocidad, momento lineal, momento angular) cambien de signo. En este caso, como en la inversion espacial, la operacion inversion temporal depende del origen de tiempos. No obstante, si el sistema es invariante frente a traslaciones temporales (y, por tanto, conserva la energa total), la eleccion del origen de tiempos es irrelevante. La consecuencia de la invariancia de un sistema frente a inversion temporal es que la probabilidad de un proceso de colision es la misma del proceso inverso, en el que se cambian las partculas incidentes por las salientes. 5.1 Simetras discretas en mecanica clasica En mecanica clasica, la invariancia de un sistema frente a las transformaciones discretas se mani esta en que, si partimos de una solucion de las ecuaciones del movimiento del sistema y realizamos la transformacion discreta, se obtiene otra solucion de las ecuaciones de movimiento. Ello es equivalente a considerar que el lagrangiano (o el hamiltoniano) del sistema son invariantes frente a las transformaciones. El hamiltoniano de un sistema clasico, en ausencia de fuerzas externas, debe ser invariante frente a rotaciones. Por ello, los terminos que aparecen en el hamiltoniano deben ser escalares, o pseudo-escalares. Si el hamiltoniano es, ademas, invariante frente a inversion espacial, los terminos deben ser escalares estrictamente hablando. Terminos de tipo L~ p~, · que son pseudo-escalares, cambian de signo frente a inversion espacial, por lo que, si un hamiltoniano los contiene, no es invariante frente a transformaciones de paridad. Los hamiltonianos clasicos habituales (sistemas de partculas con interaccion gravitatoria o ´ electromagnetica, solido r igido, ...) son invariantes frente a transformaciones de paridad. La conjugacion de carga en mecanica clasica tiene sentido sobre todo para la interaccion electromagnetica. Si se cambian de signo las cargas de todas las partculas interactuantes en un sistema, cambian de sentido los campos electricos y magneticos que generan, con lo cual las fuerzas permanecen invariantes. La interaccion electromagnetica es, por tanto, invariante frente a conjugacion de carga. En ausencia de fuerzas disipativas, el lagrangiano clasico contiene siempre un numero par de operadores derivada con respecto al tiempo de las coordenadas. La energa cinetica depende, en general, de dos derivadas primeras, mientras que la energa potencial es independiente del tiempo. Ello hace que el hamiltoniano sea invariante frente a inversion temporal. En general, el hamiltoniano no debe contener terminos de tipo ~r ~p. Estos · terminos son los que generan fuerzas disipativas, como el rozamiento. En mecanica clasica se considera que esta fuerzas disipativas se deben a interacciones con el medio, que no se incluyen explcitamente en el hamiltoniano. Una descripcion fundamental de un sistema clasico debe manifestar la inversion temporal, lo cual se mani esta en que en las ecuaciones de movimiento aparecen solo derivadas de orden par en el tiempo. 41 5.2 Simetras discretas en mecanica cuantica no relativista 5.2.1 Inversion espacial La operacion de inversion espacial o paridad viene descrita en mecanica cuantica no relativista por un operador P , unitario (P ..1 = P +) y hermtico (P = P +), tal que, actuando sobre los operadores coordenada ~r, dan P~rP = ..~r. De la misma forma, P cambia el signo de todos los operadores que corresponden clasicamente a vectores polares, y no modi ca los operadores que corresponden a vectores axiales. AsLP L~ . , P. = Queda describir el efecto del operador paridad sobre variables que no tienen analogo clasico. En mecanica cuantica no relativista, el operador P no actua sobre las variables de espn. As, sobre una funcion de onda de una partcula de coordenada ~r y variable de espn , se tiene P (~r, ) = (..~r, ). Si la funcion de onda orbital de la partcula viene caracterizada por un momento angular orbital l, las propiedades de los armonicos esfericos hacen que P (~r, )=(..1)l (~r, ). Para una partcula A, caracterizada por una funcion de onda con numeros cuanticos n, l, s, j, mj, el efecto de P viene dado por P jA; n, l, s, j, mj >= P (A)(..1)ljA; n, l, s, j, mj > donde, P (A) es la paridad intrnseca de la partcula A, que puede tomar los valores 1. Del mismo modo, para un sistema de partculas A1:::An cuya funcion de onda se describe como un producto de funciones de onda monoparticulares con momento angular orbital l1 ... ln, la paridad del estado es P (A1)(..1)l 1:::P (An)(..1)l . n En mecanica cuantica no relativista, las partculas que constituyen un sistema cuantico (electrones en un atomo, protones y neutrones en un nucleo) no se crean ni se destruyen. Por tanto, las paridades intrnsecas de estas partculas constituyen un factor constante en la accion del operador paridad, por lo que son irrelevantes. No obstante, este no es el caso en teora cuantica de campos. Un sistema es invariante frente a transformaciones de paridad cuando el hamiltoniano no se modi ca ante la actuacion de P: PHP = H, o bien [P, H] = 0. Notese que la invariancia frente a rotaciones implica que [H, J~] = 0. Ademas, [P, J~] = 0. Por tanto, si, para un sistema, [P, H] = 0, los autoestados sistema pueden caracterizarse por lor numeros cuanticos j, mj y por el autovalor del operador paridad, que puede tomar los valores 1. 5.2.2 Conjugacion de carga La operacion conjugacion de carga viene descrita por un operador C, unitario (C..1 = C+) y hermtico (C = C+), cuyo efecto consiste en cambiar partculas por anti-partculas. As, no solo se cambia el signo de la carga electrica (CQC = ..Q), sino tambien el de todos lon numeros cuanticos aditivos (numero barionico, numeros leptonicos, extra~neza). El operador conjugacion de carga no altera a las variables orbitales o de espn de las partculas. Para una partcula A, caracterizada por una funcion de onda con numeros cuanticos n, l, ml, s, ms, el efecto de C viene dado por  CjA; n, l, s, j, mj >= C (A)jA; n, l, s, j, mj > 42  donde A es la antipartcula de A,y C (A) puede valer 1. Un sistema es invariante frente a conjugacion de carga cuando el hamiltoniano no se modi ca ante la actuacion de C: CHC = H, o bien [P, H] = 0. El operador conjugacion C de carga no conmuta con el operador carga electrica, ni con los otros operadores que corresponden a numeros cuanticos aditivos (B,S,...). Por tanto, solamente en es caso de sistemas totalmente neutros (todos sus numeros cuanticos aditivos cero) pueden considerarse estados con un numero cuantico C (paridad C) bien de nido. 5.2.3 Inversion temporal La ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo es d (t) ih= H(t) (t). dt Se de ne la operacion de inversion temporal mediante el operador T tal que T (t)= (..t). Cuando H(t)= H(..t), entonces, si (t) es una solucion de la ecuacion de Schrodinger, tambien lo es T (t)= (..t). El operador T cumple que T = T ..1, pero no es un operador lineal: T (a1 1(t)+ a2 2(t)) = a* 1 * 1(..t)+ a* 2 * 2(..t) por tanto, no es hermtico, y no tiene sentido hablar de autovalores o autoestados de T. El operador T deja invariante los operadores hermticos independientes del tiempo, T~rT r, pero cambia de signo los momentos lineales T~= ..~LTL. = ~pTp y angulares T~= ..~ Tambien cambia de signo el operador espn. Para una partcula A, caracterizada por una funcion de onda con numeros cuanticos n, l, s, j, mj, eligiendo la fase de los estados de forma adecuada, el efecto de T viene dado por T jA; n, l, s, j, mj >= T (A)(..1)j+mj jA; n, l, s, j, ..mj > donde T (A) puede tomar valores 1. Un sistema es invariante frente a inversion temporal cuando su hamiltoniano cumple TH(t)T = H(..t). Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, entonces la condicion es que H sea hermtico. 5.3 Simetras discretas en teora cuantica de campos 5.3.1 Inversion espacial El hamiltoniano de una partcula libre de Dirac con espn 1/2 viene dado por H0 = ~p~+ m · Este hamiltoniano no es invariante frente a inversion espacial, si los operadores ~y , que actuan sobre las variables internas, no se modi can. Si se exige que H0 sea invariante frente a inversion espacial, debe ocurrir que P ~ P = .. ~,y P P = . Como los operadores ~y ß tienen la propiedad ~ ß = .. ~,y ß = , la invariancia de H0 frente a P puede conseguirse exigiendo que el operador paridad, ademas de cambiar ~r !..~r y p~!..p~, 43 actue como el operador ß sobre las variables internas. El operador , que coincide con 4, deja invariante las componentes de partcula y cambia de signo las de anti-partcula. En teora cuantica de campos, los operadores de creacion y aniquilacion de partculas y antipartculas se obtienen de la cuantizacion de los campos fermionicos. De las propiedades de transformacion de estos campos, y considerando que el vaco es invariante frente a transformaciones de paridad (P j0 >= j0 >), se obtiene que, para un fermion f de momento p~ y helicidad s, se cumple P jf~ps >= p(f)jf - p~- s>  Igualmente, para su anti-partcula f,  P jf~ps >= ..p(f)jf - p~- s> donde p = 1 es la paridad intrnseca del fermion, es decir, la que tiene As, la paridad intrnseca de un fermion es siempre la opuesta a la de su anti-fermion. Los fotones se obtienen de la cuantizacion del potencial vector del campo electromagnetico. Como este es un vector axial, cambia de signo frente a paridad. Por tanto, P A~ (~r, t)P = ..A~ (..~r, t), y se obtiene que para un foton . P j~ps >=(..1)j. - p~- s> Por ello, puede decirse que los fotones tienen paridad intrnseca negativa. En general, los bosones pueden tener paridad intrnseca positiva o negativa. La paridad intrnseca del anti-boson es la misma que la del boson 5.3.2 Conjugacion de carga La operacion de conjugacion de carga para una partcula de Dirac corresponde a cambiar las componentes de partcula y de anti-partcula. Desarrollando los campos fermionicos en operadores de creacion y aniquilacion de partculas, y considerando que el vaco es invariante frente a conjugacion de carga (Cj0 >= j0 >), se obtiene que, para un fermion f de momento ~p y helicidad s, se cumple  Cjf~ps >= c(f)jf~ps >  Igualmente, para su anti-partcula f,  Cjf~ps >= c(f)jf~ps > donde c(f)= 1. Los fotones se obtienen de la cuantizacion del potencial vector del campo electromagnetico. Como este cambia de signo frente conjugacion de carga, CA~ (~r, t)C = ..A~ (~r, t), y se obtiene que para un foton . Cj~ps >=(..1)j~ps > Por ello, puede decirse que los fotones tienen paridad-C negativa (notese que los fotones son totalmente neutros). 44 5.3.3 Inversion temporal La operacion de inversion temporal para una partcula de Dirac corresponde a cambiar el momento de la partcula y de anti-partcula. La helicidad se mantiene constante, ya que tambien cambia el momento angular. Desarrollando los campos fermionicos en operadores de creacion y aniquilacion de partculas, y considerando que el vaco es invariante frente a conjugacion de carga (T j0 >= j0 >), se obtiene que, para un fermion f de momento ~p y helicidad s, se cumple T jf~jf - ~ ps >= T (f)ps >  Igualmente, para su anti-partcula f,  T jf~jf - ~ ps >= T (f)ps > donde T = 1. Los fotones se obtienen de la cuantizacion del potencial vector del campo electromagnetico. Como este cambia de signo frente a inversion temporal, T A~ (~r, t)T = ..A~ (~r, t), pero tambien lo hacen los vectores que caracterizan la polarizacion circular debido al caracter no lineal del operador T . Se obtiene que para un foton . T j~ps >= (+1)j. - ps > ~ 5.4 Paridad y conjugacion de carga de sistemas de partculas 5.4.1 Sistemas de fotones Cada foton tiene paridad-C ..1, independiente de su estado de movimiento. Por tanto, un sistema de n fotones tiene paridad-C (..1)n . ´ Los fotones tienen paridad-P intr inseca ..1. Eso quiere decir que, en un hipotetico sistema de referencia en que el foton este en reposo, su paridad sera -1. Los fotones reales se mueven a la velocidad de la luz, por lo que no es posible que esten en reposo. La paridad de un foton real depende de su estado de movimiento, y en concreto, depende ´ de como se acople su momento angular intr inseco J = 1, a su momento angular relativo. Asi se habla de fotones de tipo E. (momento angular total . y paridad (..1)) y fotones de tipo M. (Momento angular total . y paridad ..(..1)). En el caso de los fotones virtuales, como el que aparece en una aniquilacion electronpositron, si puede tomarse un sistema de referencia en el que esten en reposo. En ese sistema, su momento angular es J = 1 y su paridad (-1). 5.4.2 Sistemas fermion-antifermion La paridad-P de un sistema fermion-antifermion es igual al producto de las paridades intrnsecas del fermion y del antifermion, que son siempre opuestas, por la del movimiento relativo, que es (..1)L . Por tanto, P (ff) = ..(..1)L . Para obtener la paridad-C de un sistema fermion-antifermion, con momento angular orbital L y espn S, es conveniente expresar expcitamente su funcion de onda, que debe 45 ser anti-simetrica: (1, 2) = f (1) f(2)L(~r12)S(1;2) - f (2) f(1)L(~r21)S(2;1)  El operador C cambia f en f, dejando las variables orbitales y de espn inmutables: C f (1) f(2) = . f(1) f (2) Por otro lado, L(~r12)=(..1)LL(~r21), y S(1;2)=(..1)S..2sf S(2;1), donde sf es el espn del fermion. Esto lleva a que C (1, 2) = (..1)L+S..2sf +1 (1, 2). Como los fermiones tienen espn semientero, ..2sf +1 es par, luego la paridad-C del sistema fermionantifermion viene dada por (..1)L+S . 5.4.3 Sistemas boson-antiboson Los fermiones tienen siempre una anti-partcula. Los bosones pueden ser totalmente neutros, en cuyo caso coinciden con su anti-partcula, (como el foton, el pion neutro, etc), o bien pueden tener carga electrica, o algun otro numero cuantico, en cuyo caso el boson y el antiboson son diferentes. La paridad-P de un sistema boson-antiboson es igual al producto de las paridades intrnsecas del boson y del antiboson, que son siempre iguales, por la del movimiento relativo, que es (..1)L . Por tanto, P (bb) = +(..1)L . Para obtener la paridad-C de un sistema boson-antiboson, con momento angular orbital L y espn S, es conveniente expresar expcitamente su funcion de onda, que debe ser simetrica: (1, 2) = b(1) b(2)L(~r12)S(1;2)+ b(2) b(1)L(~r21)S(2;1)  El operador C cambia b en b, dejando las variables orbitales y de espn inmutables: C b(1) b(2) = b(1) b(2) Por otro lado, L(~r12)=(..1)LL(~r21), y S(1;2)=(..1)S..2sb S(1;2), donde sb es el espn del boson. Esto lleva a que C (1, 2) = (..1)L+S..2sb (1, 2). Como los bosones tienen espn entero, ..2sb es par, luego la paridad-C del sistema boson-antiboson viene tambien dada por (..1)L+S . 5.4.4 Partculas totalmente neutras Estas partculas, que son siempre bosones, coinciden con sus anti-partculas, y tienen, por tanto, paridad-C bien de nida. En el caso del foton, hemos visto que C()= ..1. Las partculas neutras que decaen en un numero par de fotones (0, , 0) tienen paridad- C positiva. Las que decaen en un numero impar de fotones (0, !, ) tienen paridad-C negativa. Los sistemas de estas partculas tienen paridad-C igual al producto de las paridades-C de las partculas del sistema. 5.5 Conservacion y violacion de las simetras discretas En general, la evidencia experimental de los procesos de fsica atomica y nuclear indican que la interaccion fuerte y electromagnetica conservan P y C. Ello permite relacionar la 46 paridad-P intrnseca a las partculas que se crean o se aniquilan en procesos fuertes o electromagneticos, asi como asignar paridad-C a las partculas totalmente neutras. Si, por convenio, se toma que la paridad-P intrnseca del proton y el neutron es +1, entonces pueden deducirse las paridades de todos los hadrones con extra~neza cero. En concreto, se encuentra que los piones tienen paridad-P -1. Del mismo modo, tomando que la paridad-P de la . es +1, se deducen las paridades de todos los hadrones con extra~neza no nula. 5.5.1 Violacion de la paridad P por la interaccion debil La evidencia experimental de que la interaccion debil violaba la paridad-P llego en 1957. Wu investigo el decaimiento beta de 60Co, que tiene espn 5+, y decae en 60Ni + e- + . Introdujo los atomos de 60Co en un campo magnetico intenso, y observo que los electrones se emitan con mayor probabilidad en la direccion del campo magnetico que en la opuesta. Este hecho implica una violacion de la paridad, ya que la inversion espacial invierte el momento de los electrones, pero no el campo magnetico, por lo que la emision de electrones en ambas direcciones debe tener la misma probabilidad. Esta asimetra se explica debido a que los anti-neutrinos tienen helicidad positiva. El electron y el neutrino se emiten con mayor probabilidad en direcciones opuestas (por la densidad de estados), pero sus espines son paralelos, y van dirigidos preferentemente en la direccion opuesta al campo magnetico. Como el anti-neutrino tiene helicidad positiva, se emite en la direccion opuesta al campo magnetico, por lo que el electron se emite en la direccion del campo magnetico. El hecho de que los neutrinos tengan helicidad de nida hace que la interaccion debil viole P y C. Para un neutrino con momento p~y helicidad s = ..1=2, P j. ~ps = ..1=2 > = P j. - p~s =1=2 > Cj. p~s = ..1=2 > = C jp~s = ..1=2 > PCj. p~s = ..1=2 > = P C j- ~p s =1=2 > Como los neutrinos con helicidad positiva y los antineutrinos con helicidad positiva no existen, o al menos no sienten la interaccion debil, P y C, por separado, no son conservados por la interaccion debil. No obstante, si existen los antineutrinos con helicidad positiva, por lo que PC si podra, en principio, ser conservada por la interaccion debil. En los procesos debiles en los que no aparecen neutrinos tambien se viola la paridad. Ello se debe a que en las corrientes aparece gV + 5gA. El operador 5 se modi ca frente a P y C cambiando de signo. Por tanto, P (gV + 5gA)P = gV - 5gA C(gV + 5gA)C = gV - 5gA PC(gV + 5gA)CP = gV + 5gA Por ello, P y C no dejan invariante la densidad lagrangiana de la interaccion debil, pero si lo hace, en principio, PC, supuesto que las constantes gV y gA sean las mismas para partculas y antipartculas. La invariancia frente a inversion temporal requiere que gV y gA sean reales. Como veremos posteriormente, este no es el caso, ya que hay una peque~na parte de la interaccion debil que viola CP , y, por tanto T , pero conserva I = CPT . 47 5.5.2 El teorema CPT La conservacion de las simetras C, P y T por separado, que se da en mecanica clasica, no tiene por que ocurrir en mecanica cuantica. De hecho, la interaccion debil viola fuertemente las simetras C y P , y tambien, en menor medida, CP y T . No obstante, existen razones teoricas fuertes para considerar que la transformacion I = CPT debe conservarse exactamente. El enunciado del teorema es el siguiente: Si la densidad lagrangiana que describe una teora es un operador hermtico e invariante de Lorentz, construdo a partir del producto en orden normal de operadores de campo que satisfacen la relacion entre el espn y la estadstica, entonces la transformacion I = PCT es una simetra de la teora. La conservacion de I = CPT , que hace que el hamiltoniano del sistema sea invariante frente a I (IHI = H), tiene importantes consecuencias. Estas consecuencias dependen solamente de la conservacion de I. C, P y T , por separado, no tienen que conservarse. Para hablar con precision de partculas inestables, consideramos que H = H0 + H0, de forma que H0 de ne las partculas y H. es responsable de los decaimientos. Se toman de forma que IH0I = H0 y IH0I = H0. Sea jA;jm > el estado de una partcula (o sistema de partculas) A, con momento lineal nulo (y por tanto momento angular orbital l=0), y con momento angular j y projeccion m. jA;jm > es un autoestado de H0. Este estado no tiene propiedades de transformacion bien de nidas frente a P , C y T por separado, pero cuando se actua sobre el con I se obtiene  IjA;jm >= CPT jA;jm >= I jA, j - m> donde I es una cierta fase. Notese que IjA;jm > es tambien autoestado de H0. Ello permite de nir el concepto de antipartcula, incluso en casos en que H0 no conmuta con C. Igualdad de masa de partculas y antipartculas. La \masa” de A es el elemento de matriz del hamiltoniano: m(A)c 2 =< A, jmjHjA;jm >=< A, jmjI(IHI)IjA;jm > Pero IHI = H, y ademas,  IjA;jm >= I jA, j - m> Entonces, 2 2  m(A)c =< A;j - mjHjA, j - m>= m(A)c Notese que el elemento de matriz del Hamiltoniano no puede depender de la projeccion m de j ya que H es un escalar. Propiedades electromagneticas opuestas de partculas y antipartculas. La carga de A es el elemento de matriz del operador Q: Q(A)=< A, jmjQjA;jm >=< A, jmjI(IQI)IjA;jm > Pero Q es independiente de P y T , luego IQI = CQC = ..Q, y ademas,  IjA;jm >= I jA, j - m> 48 Luego Q(A)= ..Q(A). De forma analoga, puede obtenerse que el momento magnetico, momento dipolar eectrico, momento cuadrupolar electrico, etc, de partcula y antipartcula son opuestos. Vidas medias iguales de partculas y antipartculas. El decaimiento de A ocurre porque el hamiltoniano H puede expresarse como H0 + H0. El estado jA;jm > es autoestado de H0, pero H. puede generar transiciones a otros auto-estados jB;jm > de H0. La vida media viene dada por la regla de oro de Fermi 2p (A)..1 = h| < A, jmjH0jB;jm > j2B(m(A)c 2) Considerando que IH0I = H0, se tiene que la densidad de estados B(MAc2) es la misma que la densidad de estados para las antipart iculas B (m(A)c2). Por otro lado, como IH0I = H0, se cumple que H0 | < A, jmjH0jB;jm > j2 = | < A;j - mjjB, j - m> j2 Esto, junto con la invariancia rotacional de H0, llevan a que (A)= (A). 5.5.3 Los kaones neutros. Violacion de CP  Si las partculas elementales se caracterizan por la extra~neza, K0 y K0 son partculas bien diferenciadas. Una tiene S = 1ylaotra S = ..1. Por otro lado, ambas tienen paridad negativa PK0 >= >, PK0 >= K0 >, y son un la antipartcula de la j..jK0 | ..|   otra: CjK0 >= jK0 >, CjK0 >= jK0 >. Por el teorema CPT, ambas tienen la misma masa. No obstante, la interaccion debil no conserva la extra~neza, por lo que pueden existir  terminos del hamiltoniano que conecten jK0 > y jK0 >. Estos terminos, aunque sean muy peque~nos, tienen un efecto muy importante, ya que los elementos de matriz diagonales del hamiltoniano son iguales. Para obtener los autoestados del hamiltoniano, podemos suponer que, aunque la interaccion debil viola P y C, conserva PC. Por tanto, los autoestados de PC lo seran tambien del hamiltoniano. As, KS >=(K0 >) , CP KS >= (+1)KS > jp12jK0 > ..| jj1  jKL >= p2(jK0 > +jK0 >) , CP jKL >=(..1)jKL >  Los estados que aparecen en la naturaleza como partculas libres no son K0 y K0, sino sus combinaciones KS y KL. Entre ellas hay una peque~na diferencia de masas, debida al efecto de la interaccion debil, m(KL) - m(KS) = (3:489 ± 0:008)10..6eV , pero la principal diferencia radica el el decaimiento. Como un sistema de dos piones tiene CP=+1, KS puede decaer en dos piones por interaccion debil, pero no asi KL, que debe decaer en tres piones o mas. Por ello, la vida del KS (0:8935 ± 0:0009)10..10s es mas corta que la del KL (5:17 ± 0:04)10..8s. La peque~na diferencia de masa entre KS y KL lleva al fenomeno conocido como \oscilaciones de kaones". Supongamos que en un proceso de colision se produce un K0. En el instante inicial, corresponde a una combinacion j (t = 0) >= jK0 >=(jKL > +jKS >)=p2. 49 Cada uno de los estados, jKS > y jKL > evoluciona en el tiempo de forma que adquiere una fase dependiente de su energa. Ello hace que, en un instante posterior, el estado sea j (t) >= (exp(im(KL)t=h)jKL > + exp(im(KS)t=h)jKS >)=p2.  Si este estado lo expresamos en la base K0 >, K0 >, encontramos que oscila entre K0  K0 j| h=(m(KL) - m(KS))y en funcion del tiempo, con un tiempo caracterstico t = = 5:9210..10s. Si la conservacion de CP fuera exacta, entonces KL no podra decaer en dos piones. De hecho, la probabilidad de decaimiento en dos piones es muy peque~na, pero no nula. El cociente de las probabilidades de transicion viene dado por: 2 P (KL . 2) jj= P (KS . 2) =(2:262 · 10..3)2 Por otro lado, la violacion de CP se muestra mas claramente comparando los decaimientos KL . ..e +. (1) KL . + e..(2) Ambos procesos debieran tener la misma probabilidad, si CP se conservara. No obstante, se observa que d = P (1) - P (2) =3:27 10..3 P (1) + P (2) · De todo esto, podemos concluir que la interaccion debil viola fuertemente P y C. Tambien viola PC, pero solo en unas partes en 1000. De un analisis mas detallado de las fases de , se llega a la conclusion de que CPT se conserva, con lo que T se viola por unas partes en 1000 de la interaccion debil. 5.6 Problemas 1) Establecer como se transforman bajo las operaciones P, C y T las siguientes magnitudes clasicas: Posicion ~r, momento ~p, momento angular L~ , carga electrica q, momento dipolar electrico D~ , momento magnetico ~, densidad de carga , densidad de corriente ~j, campo electrico E~ , campo magnetico B~ , potencial vector A~ , potencial escalar V . 2) Demostrar que las ecuaciones de Maxwell son invariantes frente a las operaciones C, P y T: ~E =  r· ~ ~B =0 r· ~ ~E + @tB~ =0 r× ~ r× B~ + @tE=c2 = ~j 3) Demostrar que el operador paridad P conmuta con el operador que produce rotaciones en torno al eje x, Rx() = exp(..iLx). Demostrar que el operador conjugacion de carga C no conmuta con el operador que produce transformaciones gauge asociadas a la carga electrica, U() = exp(..iQ). 50 4) Obtener los valores de P, C y PC de un sistema de +- con momento angular L. Hacer lo propio para un sistema 00 . 5) Obtener los valores de P, C y PC para un sistema de +..0 con momento angular J=0. Hacer lo propio para un sistema 000 . Nota: el momento angular J del sistema se obtiene del acoplamiento del momento angular de dos piones L12 con el momento angular del tercero con respecto al centro de masas de los otros dos L3. 6) Obtener los valores de P, C y PC para un sistema e..e+ con momento angular orbital L, espn S y momento angular total J. Deducir los valores de L, S y J permitidos para que el sistema e..e+ provenga de la aniquilacion de un foton virtual. 7) Considera que una partcula jA;jm >, en reposo, decae y produce otras partculas a, b, :::. Nos jamos en una de ellas a, que sale con un momento ~ka y una helicidad sa. A partir de la regla de oro de Fermi, demuestra que la conservacion de la paridad por la interaccion que produce el decaimiento implica que: a) La probabilidad de detectar la partcula con momento ~ka y helicidad sa es la misma que la probabilidad de detectar la partcula con momento ..~ka y helicidad ..sa b) La probabilidad de detectar la partcula con momento ~ka es la misma que la probabilidad de detectar la partcula con momento ..~ka, si no se observa la helicidad. c) El valor esperado de sa, integrado para todos los momentos ~ka, es nulo. 8) El momento dipolar electrico de una partcula d(A), o un sistema de partculas, es igual al valor esperado de la componente z del operador dipolar electrico Dz = i qizi para el estado con m = j: d(A)=< A, jjjDzjA;jj >. Demostrar que tanto si P se conserva, como si T se conserva, entonces d(A) debe anularse. No obstante, si P y T se violan, pero PT se conserva, entonces puede ocurrir que d(A) sea no nulo. 9) Cuando un pion negativo interacciona con un deuteron, que tiene J=1 y paridad positiva, se forma un \atomo pionico", y el pion decae hasta el estado mas bajo, con L=0. Entonces, reacciona por interaccion fuerte con el deuteron, y se producen dos neutrones. Demostrar que, para que esto ocurra conservandose la paridad, el pion debe tener paridad intrnseca negativa. Nota: considerar la conservacion del momento angular, y el caracter fermionico de los neutrones. 51 Chapter 6 Teora de Grupos 6.1 Introduccion En este tema se va a desarrollar la teora de grupos desde una perspectiva general, y por tanto, abstracta. Por ello, es conveniente tener presente la relacion de los conceptos abstractos con las nociones relevantes de un sistema cuantico: • Elementos del grupo: Transformaciones que dejan (aproximadamente) invariante el hamiltoniano (Ejemplo: rotaciones). • Representacion de un grupo: Cuando las transformaciones de un grupo actuan sobre un sistema determinado, los estados de este sistema se modi can. A cada transformacion del grupo, le corresponde (le representa) un operador lineal (o una matriz n × n), que describe como se modi can los estados. La representacion de un grupo es el conjunto de estos operadores lineales. (Ejemplo: las matrices que indican como cambian x, y, z bajo rotaciones). • Representaciones irreducibles: Dentro de un sistema, existen subespacios vectoriales de estados que estan fuertemente interconectados por las transformaciones del grupo, de tal manera que no hay ningun estado que este desconectado de los demas (Ejemplo: los armonicos esfericos bajo rotaciones). Las representaciones del grupo en estos subespacios vectoriales se llaman irreducibles, y son caractersticas de cada grupo. (Ejemplo: las matrices D que indican como se modi can los armonicos esfericos). • Representacion producto: Si tenemos un sistema compuesto de dos sistemas (1) y (2), los estados del sistema compuesto vendran dados por el producto de los estados de (1) y (2). Las transformaciones del grupo modi can los estados del sistema compuesto, ya que modi can los estados de (1) y de (2). Los operadores lineales que describen estas transformaciones (que son simplemente el producto de los operadores de (1) por los de (2)), constituyen la representacion producto. (Ejemplo: el producto de las matrices D de la variable orbital por las matrices D del espn). • Serie de Clebsh-Gordan: En un sistema compuesto de dos sistemas (1) y (2), aunque tanto (1) como (2) generen representaciones irreducibles del grupo, los estados del sistema compuesto no generan representaciones irreducibles. No obstante, el espacio vectorial del sistema compuesto puede descomponerse en espacios vectoriales que si 52 generan representaciones irreducibles. Esta descomposicion es caracterstica del grupo, y se denomina serie de Clebsh-Gordan. Los coe cientes que describen el desarrollo de los estados que generan las representaciones irreducibles en terminos de los estados producto de (1) y (2) son los coe cientes de Clebsh-Gordan, y son tambien caractersticos del grupo. (Ejemplo: los coe cientes de Clebsh-Gordan que indican como se obtienen estados de momento angular total J a partir de productos de estados de momento angular orbital L y espn S). 6.2 Propiedades generales De nicion: Un grupo G es un conjunto de elementos a, b, c, ::. con una ley de composicion que cumplen: · 1) Interna: 8a, b . G;a b . G · 2) Asociativa: 8a, b, c . G, (ab) c = a (bc) · · 3) Neutro: 9e . G, 8a . G;a e = ea = a · 4) Inverso: 8a . G, 9a..1 . G;a a..1 = a..1 a = e · Grupo Abeliano: Cumple 8a, b . G;a b = ba · Subgrupo: Subconjunto S . G, que cumple 8a, b . S;a b . S · Grupo producto directo: Si A y B son subgrupos de G, y todos los elementos de G pueden escribirse de forma = ab = ba, entonces unica como g b;a . A, b . B,y a · · G es el grupo producto directo de A y B, G = A × B. Si un grupo es producto de otros dos, todas sus propiedades pueden obtenerse a partir de las de sus factores. Grupos isomorfos: Dos grupos G = fa, b, :::, } y G. = fa0;b0, :::, } son isomorfos si existe una correspondencia biunvoca tal que si a . a0;b . b0, entonces a · b . a. × b0. Los grupos isomorfos tienen la misma estructura. Grupos discretos: Tienen un numero discreto ( nito o no) de elementos. C2: Rotaciones de . Z2: Enteros con la suma modulo 2. S2: Permutaciones de dos elementos. Todos estos grupos tienen dos elementos, son isomorfos y abelianos. D2: Rotaciones de p con reexiones. Tiene cuatro elementos, es abeliano y es isomorfo a C2 × C2. D3: Rotaciones de 2=3 con reexiones. S3: Permutaciones de tres elementos. Tienen seis elementos, son isomorfos y no abelianos Grupos continuos: Se de nen en funcion de un numero N de parametros reales, donde N es el orden del grupo. Dentro de los grupos continuos, los grupos compactos ´ se de nen como aquellos en que los parametros var ian en un intervalo compacto (cerrado y acotado) de valores. GL(n): Transformaciones lineales no singulares en n dimensiones. Isomorfo a las matrices complejas n × n no singulares. N =2n2 . No compacto. U(n): Transformaciones unitarias en n dimensiones. Isomorfo a las matrices unitarias n × n (A+ = A..1). N = n2 . Compacto. SU(n): Transformaciones unitarias especiales en n dimensiones. Isomorfo a las matrices unitarias n × n con determinante 1. N = n2 - 1. Compacto. 53 SO(n): Transformaciones ortogonales en n dimensiones. Isomorfo a las matrices reales ortogonales n × n con determinante 1. N = n(n - 1)=2. Compacto. El grupo de las rotaciones en tres dimensiones es isomorfo a SO(3). Grupo de Lorentz SO(3,1): Transformaciones que dejan invariante el intevalo s2 = c2t2 - x2 - y2 - z2 . Contiene las rotaciones, y los cambios de sistema de referencia. Tiene 6 parametros. No compacto. 6.3 Representacion de grupos Una representacion de dimension n de un grupo es un homomor smo, en el que a cada elemento g del grupo se le hace corresponder una matriz n × nD(g), de forma que si ab = c, entonces D(a)D(b)= D(c). · Otra de nicion, equivalente a la anterior, es la siguiente: Una representacion de un grupo sobre un espacio vectorial V de dimension n es un homomor smo, en el que a cada elemento de g se le hace corresponder un operador lineal T (g) que actua sobre los estados de V, de forma que si ab = c, entonces T (a)T (b)= T (c). Esta de nicion es equivalente a · la anterior, puesto que si tomamos una base de V fji >;i =1;ng, a cada operador lineal le corresponde una matriz n × n, de nida por Dij(g)=. Dos representaciones D(1)(g);D(2)(g) son equivalentes si existe una matriz S tal que, para todo g, D(1)(g)= SD(2)(g)S..1 . La representacion trivial, de dimension 1, corresponde a tomar, para todo g, D(g) = 1. Una representacion el es tal que, a elementos distintos del grupo le corresponden matrices distintas. Una representacion unitaria es tal que, a cada elemento del grupo, le corresponde una matriz unitaria. En el lenguaje de operadores lineales, a cada elemento del grupo le corresponde un operador lineal unitario, T +(g)T (g)= T (g)T +(g) = 1, que conserva el producto escalar. Si una representacion de un grupo viene dada por las matrices D(g), la representacion conjugada viene dada por las matrices D(g)+ . Teorema de Maschke: Todas las representaciones de grupos nitos o de grupos compactos son equivalentes a representaciones unitarias. Una representacion es reducible si es equivalente a una en que todas las matrices D(g) pueden expresarse como: . . D(g) = A(g) 0 C(g) B(g) donde A(g)y B(g) son matrices cuadradas de dimension n1 y n2. En una representacion reducible, los operadores T (g) dejan invariante un subespacio de S1 . V de dimension n1. Por el contrario, en una represntacion irreducible, no hay subespacios invariantes. Aplicando el teorema de Maschke a una representacion reducible, puede encontrarse una representacion unitaria equivalente, para la que C(g) = 0. Por tanto, A(g)0 D(g)= 0 B(g) 54 Esta representacion se llama descomponible. El espacio vectorial V puede expresarse como suma directa de los subespacios S1 y S2, que son ambos invariantes frente a las transformaciones del grupo. La representacion D(g) se descompone en la suma de las representaciones A(g)y B(g). Asuvez, A(g)y B(g), o bien son irreducibles, o bien pueden descomponerse en suma de otras representaciones. Por tanto, una representacion de un grupo nito o compacto, o es irreducible, o puede descomponerse en suma de representaciones irreducibles. Las representaciones irreducibles de un grupo son caractersticas de cada grupo. Los grupos nitos tienen un numero nito de representaciones irreducibles. Los grupos continuos compactos tienen un numero in nito, pero numerable, de representaciones irreducibles. Podemos caracterizar cada representacion irreducible por un ndice . La dimension de esta representacion es n() As, a cada elemento del grupo le corresponde, en la representacion irreducible , una matriz D . 0;(g), donde , . =1;n. Para grupos nitos o compactos, estas matrices son unitarias. Por tanto, D . 0;(g)D  00* ;(g)= (0;00) µ Todos los grupos tienen como representacion irreducible la representacion trivial . = 0, de dimension n(0) = 1, tal que D0 11(g) = 1. Teorema: Si un espacio vectorial V genera una representacion de un grupo nito o compacto, sus estados pueden caracterizarse por una base jkµ >, donde el subespacio vectorial cuya base es jkµ >;µ =1;n. genera una representacion irreducible caracterizada por , de dimension n. Por tanto, . caracteriza la representacion irreducible que genera el subespacio vectorial, µ caracteriza el estado concreto dentro de la base del subespacio vectorial y k es un ndice adicional que que diferencia distintos subespacios vectoriales que aparecen en la descomposicion de V y que generan la representacion irreducible . Frente a las transformaciones del grupo, los estados jkµ > se transforman segun: T (g)jkµ >= D. (g)jk. > donde las matrices D . 0;(g) corresponden a cada representacion irreducible del grupo. Son independientes del ndice k, y de la naturaleza del espacio vectorial V . Teorema fundamental de ortogonalidad: Las representaciones irreducibles de un grupo nito cumplen la relacion: 1 . 1 D1* (g)D2 0;1 0;2 (g)= (1;2)(1;2)(01;02). 1 [G] g 2n(1) [G] es el numero de elementos del grupo. En el caso de grupos compactos, la suma se sustituye por una integral sobre los parametros, con un jacobiano adecuado. Ejemplo: Sea el espacio vectorial V generado por todos los estados de una partcula en un potencial arbitrario. Este espacio vectorial genera una representacion del grupo de las rotaciones: a cada elemento del grupo le corresponde un operador que genera rotaciones en el espacio de los estados. Esta representacion, de dimension in nita, es 55 descomponible. Una forma de descomponerla es expresar los estados en una base de autoestados de oscilador armonico: jn;l;m >, donde n es el numero de cuantos, l el momento angular y m su proyeccion. Estos estados, obviamente, no son autoestados del hamiltoniano de la partcula, pero constituyen una base en la que pueden desarrollarse todos los estados de V . En esta base, los operadores que describen la rotacion de angulos de Euler =( , ) tienen elementos de matriz dados por l = (n0;n)(l0;l)Dm0m( ) En esta expresion, las matrices de rotacion Dl ( ) son las representaciones irreducibles m0m del grupo de las rotaciones. Por tanto, l especi ca la representacion irreducible del grupo. m especi ca el estado dentro de la representacion irreducible, y n diferencia los diferentes subespacios que generan la misma representacion irreducible. Notese que los elementos de matriz de R( ) son independientes de n. De hecho, son independientes del sistema que estemos considerando (nucleo, molonico), siempre que con ecula, atomo multielectr sideremos estados que generen la misma representacion irredicible. Las matrices de rotacion, como representaciones irreducibles del grupo de las rotaciones, cumplen la condicion de ortogonalidad Dl ( )Dl* ( ) = (m0;m00); m0;mm00;mm y, aplicando el teorema fundamental de gran ortogonalidad, se obtiene la condicion 11 l1* ( )Dl2 ( ) = (l1;l2)(m1;m2)(m01;m0). 82 d Dm01;m1 m0;m2 2l1 +1 2 2 6.4 Representacion Producto Sean dos espacios vectoriales S1 y S2, que generan representaciones irreducibles 1 y 2, de dimensiones n1 y n2 respectivamente, de un grupo G. Entonces, los estados de S1 pueden expresarse en funcion de una base j1;1 >, de forma que las transformaciones que representan al grupo en el espacio S1 vienen dadas por, T 1 (g)j11 >= 0D  101 ;1 (g)j110> 1 y analogamente para S2. El espacio vectorial producto, de dimension n1 · n2, cuya base es j1122 >, genera una representacion del grupo, denominada representacion producto 1 × 2, de nida por T 12 (g)j1122 >= D1 (g)D2 (g)j101202 > 01;1 02;2 01;02 Por tanto, la representacion producto asigna a cada elemento g . G una matriz n1 · n2 × n1 · n2, dada por D12 (g)= D1 (g)D2 (g) 0102;12 10;1 02;2 La representacion 1 × 2 no es, en general, irreducible. Por tanto, el espacio vectorial producto S1 S2 puede descomponerse en suma directa de espacios vectoriales invariantes Sa + Sb + :::, que generan representaciones irreducibles del grupo a;b:::. Formalmente, 56 se escribe 1 × 2 = a + b + :::. Como la dimension del espacio vectorial producto es igual a la suma de las dimensiones de los subespacios en los que se descompone, debe cumplirse n1 · n2 = na + nb + :::. Esta descomposicion de la representacion producto es caracterstica del grupo, y se denomina serie de Clebsh-Gordan. Los estados de los subespacios invariantes Sa pueden caracterizarse por una base jKaaa >, donde a indica la representacion irreducible, a especi ca el estado concreto dentro de la representacion irreducible, y Ka es un ndice adicional que diferencia distintos subespacios que generan la misma representacion irreducible a. Estos estados pueden escribirse como combinacion de la base original de S1 × S2, j1122 >. Los coe cientes de Clebsh-Gordan para el grupo G nos dan la transformacion entre ambas bases, Ejemplo: Consideremos dos partculas que se mueven en un potencial central, con momentos angulares l1 y l2. Los estados de la primera pueden desarrollarse en una base jl1;m1 >, y generan una representacion irreducible del grupo de las rotaciones, de dimension 2l1 + 1. Lo mismo ocurre para los estados de la segunda partcula. El sistema de las dos partculas, descrito en una base jl1;m1;l2;m2 > genera una representacion del grupo de las rotaciones, pero no es irreducible. La representacion l1 × l2 puede descomponerse como suma de representaciones irreducibles, dadas por L = jl1 - l2j, :::(l1 + l2) (Serie de Clebsh-Gordan). En este caso, no aparecen espacios vectoriales distintos que generen la misma representacion irreducible, por lo que el ndice K no es necesario. La transformacion de la base original a la de los subespacios que generan las representaciones irreducibles L viene dada por los coe cientes de Clebsh-Gordan habituales, < LMjl1m1l2m2 >. Propiedades de los coe cientes de Clebsh-Gordan Ortogonalidad: < Kbbbj1122 >= (Ka;Kb)(a;b)(a;b) 1;2 < Kj1122 >< Kj101202 >= (1;01)(2;20) K;;µ Relacion con las matrices de las representaciones irreducibles D  011 02  ; 212 (g)= < Kj1122 >D . 0;(g) < K0j101202 >= D  101 ;1 (g)D  022 ;2 (g) K;;µ 1 . 1 . [G] g D  0* ;(g)D  101 ;1 (g)D  022 ;2 (g)= n() K < Kj1122 >< K0j101220>* 6.5 Operadores tensoriales Sea T (g) una representacion de un grupo G en un espacio vectorial V de dimension n. Sea O el conjunto de todos los operadores lineales que actuan sobre V . Puede verse que O, es a su vez, un espacio vectorial de dimension nn (O es isomorfo a las matrices · n × n). Ademas, O genera una representacion del grupo de dimension nn, de nida · de tal forma que, a cada elemento del grupo g, le corresponde un operador lineal T O(g) que actua en el espacio O de los operadores, de forma que a cada operador lineal A 57 le corresponde T O(g)(A)= T (g)AT +(g). Notese que, con esta de nicion, el elemento de matriz entre estados de V no se modi ca, si se varan tanto los estados ju >, jv> como el operador A: . ()= El espacio vectorial O genera una representacion en general reducible del grupo. Por ello, puede descomponerse en subespacios vectoriales de operadores que generen representaciones irreducibles del grupo. Estos subespacios de operadores pueden describirse en terminos de una base de operadores que puede expresarse como A(k, , ), de forma que T O(g)(A(k, , )) = T (g)A(k, , )T +(g)= D . 0;(g)A(k, , 0) Los operadores que cumplen esta relacion se denominan operadores tensoriales. Cualquier operador A . O puede desarrollarse como combinacion lineal de operadores tensoriales. Teorema de Wigner-Eckart: El elemento de matriz de un operador tensorial A(k, , ) entre estados que generen representaciones irreducibles de un grupo jk1;1;1 > , jk2;2;2 > viene dado por: = K < K22j, , 1;1 >< k2;2;KjjA(k, )jjk1;1 > donde el elemento de matriz reducido es independiente de , 1;2. Por ello, toda la dependencia del elemento de matriz en los estados concretos que se consideran dentro de la representacion irreducible aparecen en el coe ciente de Clebsh-Gordan. La forma explcita del elemento de matriz reducido es: = 1;2;µ < K22j, , 1;1 > =n(2) Esta expresion puede demostrarse a partir de la invariancia de , y de la relacion de las representaciones irreducibles con los coe cientes de Clebsh-Gordan. Corolario: Si un operador es invariante frente a las transformaciones de un grupo, sus elementos de matriz entre estados que generan representaciones irreducibles diferentes se anulan, mientras que sus elementos de matriz entre estados que generan la misma representacion irreducible son iguales. Demostracion: Si A es invariante, entonces T (g)AT +(g)= A. Por tanto, A genera un subespacio invariante de dimension 1, en el que D(g) = 1, lo que corresponde a la representacion trivial. Al unico estado de la representacion trivial lo representaremos por j. =0;µ =0 >. El producto de la representacion trivial por una representacion irreducible . es la misma representacion . Por tanto, la serie de Clebsh-Gordan es . × 0= , y los coe cientes de Clebsh-Gordan cumplen <00j00; µ >= (0;)(0;) El ndice K no es necesario ya que no hay representaciones repetidas. Utilizando el teorema de Wigner-Eckart, resulta = (2;1)(2;1) 58 Aplicacion a la mecanica cuantica: Si el hamiltoniano de un sistema es invariante frente a las transformaciones lineales que representan a un grupo G, entonces: (1) Los ndices que caracterizan las representaciones irreducibles del grupo . pueden utilizarse como buenos numeros cuanticos para etiquetar los autoestados del hamiltoniano. (2) Todos los estados µ que generan una representacion irreducible determinada . estan degenerados. 6.6 Ejemplos de grupos discretos Vamos a considerar los grupos simetricos S(2), S(3) y, en general, S(n). Estos grupos tienen una especial relevancia ya que cualquier grupo nito es isomorfo a un subgrupo de S(n). Partiremos de representaciones reducibles del grupo que descompondremos explcitamente en representaciones irreducibles. 6.6.1 Grupo S(2) Es el grupo de las permutaciones de dos elementos. En notacion de ciclos, G = fe, (12)g. Es un grupo abeliano, isomorfo a todos los grupos de dos elementos. Una representacion del grupo puede conseguirse con el espacio vectorial de dimension 2 generado por los estados fjab >, jba >g, de forma que a los elementos e, (12) del grupo le corresponden la transformaciones T [e];T [(12)], de nidas por T [e]jab >= jab>, T [e]jba >= jba>, T [(12)]jab >= jba>, T [(12)]jba >= jab > En notacion matricial, se cumple . . . . D[e] = 1 0 0 1 , D[(12)] = 0 1 1 0 , Esta representacion no es irreducible. Los subespacios que generan representaciones ir- reducibles se obtienen actuando sobre el espacio vectorial jab >, jba > con el operador simetrizador S12 o en antisimetrizador A12. Los subespacios que se obtienen, de dimension 1, estan generados por los estados jS>=(jab > +jba >)=p2y jA>=(jab > ..jba >)=p2 respectivamente, y cumplen: T [e]jS>= jS>, T [e]jA>= jA>, T [(12)]jS>= jS>, T [(12)]jA>= ..jA> En notacion matricial, DS[e]=1;DS[(12)] = 1; DA[e]=1;DA[(12)] = ..1. Estas dos representaciones son las unicas representaciones irreducibles de S(2). A partir de su origen pueden etiquetarse por el diagrama de Young que corresponde a los operadores S12 y A12, que son, respectivamente, [2] y [1, 1]. Notese que la representacion S, o [2], es la representacion trivial. 59 6.6.2 Grupo S(3) Es el grupo de las permutaciones de tres elementos. En notacion de ciclos, G = fe, (12), (13), (23), (123), (132)} . Es un grupo no abeliano, pues (12)(13) = (132), y (13)(12) = (123), y es isomorfo al grupos D3. Una representacion del grupo puede conseguirse con el espacio vectorial de dimension 6 generado por los estados fjabc >, jbac >, jacb >, jbca >, jcab >, jcba >g, de forma que a los elementos (12), (13) del grupo le corresponden la transformaciones T [(12)];T [(13)], de nidas por T [(12)]jabc >= jbac>, T [(13)]jabc >= jcba > El resto de las transformaciones se obtienen del homomor smo. Por ejemplo, T [(132)] = T [(12)]T [(13)]. En notacion matricial, se cumple 1 0 1 . 010000 000001 D[(12)] = BBBBBBBB. 100000 000010 000001 001000 CCCCCCCC. ;D[(13)] = BBBBBBBB. 000010 000100 001000 010000 CCCCCCCC. , 000100 100000 Esta representacion es reducible. Los subespacios que generan representaciones irreducibles se ontienen de la forma siguiente: Actuemos sobre el estado jabc > con el operador simetrizador S123. Se obtiene el estado: jS>= S123jabc >=(jabc > +jbac > +jacb > +jbca > +jcab > +jcba >)=p6 que cumple T [(12)]jS>= jS>, T [(13)]jS>= jS>. A partir de estas expresiones, usando el homomor smo es claro que, para todos los elementos del grupo S(3), T [g]jS>= jS>. El estado jS> genera una representacion irreducible del grupo de dimension uno que corresponde a la representacion trivial. Esta representacion se denomina \totalmente simetrica” (S). Actuemos sobre el estado jabc > con el operador antisimetrizador A123. Se obtiene el estado: jA>= A123jabc >=(jabc > ..jbac > ..jacb > +jbca > +jcab > ..jcba >)=p6 que cumple T [(12)]jA>= ..jA>, T [(13)]jA>= ..jA> . El estado jA> genera una representacion irreducible del grupo de dimension uno diferente a la representacion trivial. Esta representacion se denomina \totalmente antisimetrica” (A). Actuemos sobre el estado jabc > con el operador A12S13. Se obtiene el estado: jM2 >= A12S13jabc >=(jabc > +jcba > ..jbac > ..jbca >)=p4 60 que cumple T [(12)]jM2 >= ..jM2 >, T [(13)]jM2 >=1=2jM2 > +3=4jM1 > donde jM1 >=(jabc > +jcba > +jbac > +jbca > ..2jcab > ..2jacb >)=p12 Los estados fjM1 >, jM2 >} generan una representacion irreducible del grupo de dimension dos. Esta representacion se denomina \de simetra mixta” (M). En notacion matricial, . 0q. qA DM [(12)]= 1 0 ;DM [(13)] = . ..1=23=4 0 ..13=41=2 Actuemos sobre el estado jabc > con el operador A13S12, y ortogonalicemos el resultado con respecto a jM1 > y jM2 > Se obtiene el estado: jM02 >= (2jabc > +jacb > ..jbca > +jbac > ..jcab > ..2jcba >)=p12 que cumple T [(13)]jM02 >= ..jM02 >, T [(12)]jM02 >=1=2jM02 > +3=4jM01 > donde jM01 >=(..jacb > ..jbca > +jbac > +jcab >)=p4 Los estados fjM01 >, jM02 >} generan una representacion irreducible del grupo de dimension dos. En notacion matricial, . 0q. 10 . ..1=23=4 A DM. [(13)] = ;DM. [(12)] = . 0 ..13=41=2 Puede verse que esta representacion es equivalente a la anterior. Por tanto tambien corresponde a la \de simetra mixta” (M). Vemos que nuestro espacio vectorial original, de dimension 6, puede descomponerse como suma directa de espacios vectoriales de dimension 1, 1, 2 y 2, generados respectivamente por los estados jS>, jA>,(jM1 >, jM2 >)y (jM01 >, jM02 >). Estos espacios vectoriales generan las representaciones irreducibles S, A, M y M. La representacion M, por tanto, aparece dos veces. Las representaciones S, A yM son las  unicas representaciones irreducibles de S(3). A partir de su origen pueden etiquetarse por el diagrama de Young que corresponde a los operadores correspondientes, de forma que la representacion totalmente simetrica S corresponde a [3], la representacion totalmente antisimetrica corresponde a [1, 1, 1], y la representacion de simetra mixta M, corresponde a [2, 1]. 6.6.3 Grupo S(n) Es el grupo de las permutaciones de n elementos. Una representacion del grupo puede conseguirse con el espacio vectorial de dimension n! generado por el estado jabc:::n >,y todas sus permutaciones. 61 Esta representacion es reducible. Los subespacios que generan representaciones irreducibles se obtienen actuando sobre el espacio vectorial con los operadores de Young, que se construyen de la forma siguiente: 1) Se toman todos los diagramas de Young de n cuadros, [Y ]=[m1;m2, :::, ma], tales que m1 = m2 = ::. = ma,y n = m1 + m2 + ::. + ma. A cada diagrama de Young le va a corresponder una representacion irreducible diferente. La dimension de la representacion irreducible coincide con el numero de tableros de Young que corresponden al diagrama. 2) Para cada diagrama de Young [Y ], se constuyen todos los tableros de Young T (Y, K);K =1;N(Y ), que se obtienen numerando de forma estandar los cuadros de 1 a n, de manera que los ndices aumenten hacia la derecha y hacia abajo. K etiqueta cada numeracion estandar. N(Y) es el numero de tableros de Young que corresponden a cada operador de Young. Para cada tablero de Young, se obtiene el operador de Young O(Y, m), que simetriza con respecto a los ndices de cada la y antisimetriza con respecto a los indices de cada columna. 2) Se proyecta el estado jabc:::n >, con el primer operador de Young O(Y, K = 1). Con ello, se obtiene un estado jY, K =1;j =1 > de la base de la representacion irreducible. Se operan con las transformaciones del grupo sobre este estado, y se generan el resto de los estados jY, K =1;j > que generan la representacion irreducible. El numero de estos estados es N(Y ). 3) Se proyecta el estado jabc:::n >, con los siguientes operadores de Young O(Y, K), ortogonalizando con respecto a los estados previamente obtenidos. Con ello, se obtiene un estado jY, K, j =1 > de la base de la representacion irreducible. Se operan con las transformaciones del grupo sobre este estado, y se generan el resto de los estados jY;K;j > que generan la representacion irreducible. La representacion obtenida es equivalente a la de K = 1. Por tanto, vemos que la representacion original, de dimension n!, se descompone en suma de representaciones irreducibles. Para cada diagrama de Young [Y ], aparece una representacion de dimension N(Y ), que se ve repetida tantas veces como tableros de Young hay, es decir, N(Y ) veces. Por tanto, si contamos el numero total de estados, se tiene que n!= Y N(Y )2 . Relacion con la estadstica cuantica En mecanica cuantica, un sistema de n fermiones debe tener una funcion de onda antisimetrica frente al intercambio de partculas. Por tanto, dicha funcion de onda corresponde a la representacion [1, 1, ::::1] del grupo de las permutaciones. Del mismo modo, un sistema de n bosones debe tener una funcion de onda totalmente simetrica, que corresponde a la representacion [n]. Cuando la funcion de onda de las partculas se expresa como producto de funciones de onda de distintas variables, por ejemplo, orbitales y de espn, para el caso de fermiones, la funcion de onda orbital y la funcion de onda de espn pertenecen, en general, a representaciones diferentes del grupo de las permutaciones, [Yo]e [Ys]. No obstante, la representacion producto [Yo] × [Ys] debe contener a la representacion [1,1,...1]. Ello implica en este caso que [Yo] se obtiene de [Ys] cambiando las por columnas. Pon ejemplo, para 4 electrones en una capa (n, l), si la funcion de onda de espn pertenece a la representacion irreducible del grupo de las permutaciones [3, 1], que corresponde a S = 1, la funcion de onda orbital pertenece a la representacion [2, 1, 1], mientras que la funcion de onda total pertenece a la representacion [1, 1, 1, 1]. En el caso de bosones, la representacion producto [Yo] × [Ys] debe contener a la representacion [n]. Ello implica que [Yo]=[Ys]. 62 6.7 Problemas 1) El grupo S(3) puede expresarse, en notacion de ciclos, como G = fe, (12), (13), (23), (123), (132)g. Obtener la tabla de multiplicar del grupo. Obtener los subgrupos. ż Puede obtenerse S(3) como producto de dos de sus subgrupos? 2) Demostrar que los conjuntos de matrices siguientes constituyen una representacion del grupo. (Nota: basta demostrar que se cumplen las expresiones matriciales correspondientes a (12)(12) = e, (13)(13) = e, (12)(13) = (132), (13)(12) = (123), (13)(132) = (23) y (12)(123) = (23). Todas las demas expresiones de la tabla de multiplicar se derivan de estas). a) Representacion simetrica [3]: D[e] = 1; D[(12)] = 1; D[(13)] = 1; D[(23)] = 1; D[(123)] = 1; D[(132)] = 1 b) Representacion antisimetrica [1,1,1]: D[e] = 1; D[(12)] = ..1; D[(13)] = ..1; D[(23)] = ..1; D[(123)] = 1; D[(132)] = 1 c) Representacion de simetra mixta [2,1]: 10 10 D[e]= ;D[(12)] = ; 01 0 ..1 0q. 0q. . ..1=23=4 ..1=23=4 A D[(13)] = q. ;D[(23)] = @. - , 3=41=23=41=2 0q. 0- q. . @A D[(123)] = . ..1=2 - 3=4 . ;D[(132)] = ... 1=23=4 . 3=4 ..1=2 - 3=4 ..1=2 3) Obtener las representaciones producto [3] × [3], [3] × [1, 1, 1], [3] × [2, 1], [1, 1, 1] [1, 1, 1], [1, 1, 1] × [2, 1]. Encontrar a que representaciones son equivalentes. 4) Obtener la representacion producto [2, 1] × [2, 1] para los elementos (12) y (23) del grupo. Transformar la base ij > de la representacion producto a una nueva base dada por jS>=(j11 > +j22 >)=pj2, jA>=(j12 > ..j21 >)=p2, jM1 >=(j11 > ..j22 >)=p2, jM2 >=(j12 > +j21 >)=p2, y obtener la representacion de los elementos del grupo en la nueva base. Deducir la serie de Clebsh-Gordan y los coe cientes de Clebsh-Gordan para la repressentacion [2, 1] × [2, 1]. 5) Demostrar el teorema de Wigner-Eckart. 6) Encontrar las representaciones irreducibles de S(4) que existen, a partir de los diagramas de Young. Obtener la dimension de cada representacion irreducible evaluando los tableros de Young para cada diagrama. Comprobar que se cumple n!= Y N(Y )2 . 63 Chapter 7 Grupos de Lie Son grupos continuos, caracterizados por un conjunto de r parametros reales a =(a1:::ar), que varan de forma continua en un intervalo dado, y que cumplen g(a)g(b)= g(c), donde c puede expresarse como una funcion analtica de a y b. El numero de parametros r es el orden del grupo. Si el intervalo en el que varan los parametros es cerrado y acotado, el grupo es compacto. Representaciones: A cada elemento del grupo g(a) se le asigna una matriz Dij(a) tal que si g(a)g(b)= g(c), Dij(a)Djk(b)= Dik(c), j o bien, en un espacio vectorial V , se le asigna una transformacion lineal T (a) tal que T (a)T (b)= T (c). Los parametros que de nen un grupo pueden tomarse de forma que, para a = 0 = (0:::0), g(0)= e (elemento neutro). Entonces, Dij(0)= ij,y T (0)= IV (operador identidad en V). 7.1 Generadores Consideremos los elementos del grupo correspondientes a parametros proximos a cero da =(da1:::dar). Estos elementos del grupo g(da) estaran proximos a la unidad. Por tanto, puede escribirse: r g(da)= e + i daXµ =1 Los objetos X, que en un sentido amplio corresponden a las \derivadas” de los elementos del grupo con respecto a los parametros, son los generadores del grupo. Estos objetos no son elementos del grupo, pero describen las transformaciones correspondientes a parametros peque~nos. En una representacion del grupo, los generadores vienen caracterizados por matrices (X)ij dadas por r Dij(da)= ij + i da(X)ij, =1 64 o bien por operadores lineales X V en el espacio vectorial V r T (da)= IV + i daX V =1 Teorema: Si la representacion del grupo es unitaria, los generadores vienen caracterizados por matrices o transformaciones lineales hermticas. Demostracion: El inverso de g(da) es g(..da). Por tanto, D..1 = Dij(..da). ij (da) Pero si la representacion es unitaria, D..1 = D* (da. A partir de esto se llega a que ij (da ji (X)ij =(X)* ji. Teorema: Si un operador lineal H de nido en un espacio vectorial V es invariante frente a las transformaciones en V que representan a un grupo G, entonces el operador H conmuta con todos los generadores del grupo. Demostracion: La invariancia del operador implica que T (da)HT +(da)= H. Desarrollando esta expresion y tomando los terminos en da, se obtiene [H, X V ] = 0. Teorema: La representacion de un generador como un operador en un espacio vectorial producto V × W es igual a la suma de las representaciones del generador en V y W . Demostracion: Por de nicion de representacion producto, T V W (da)= T V (da)T W (da). Desarrollando esta expresion en terminos de los generadores, y considerando terminos en da, se tiene XV W = IV XW + XV IW µ µ Aplicacion a la mecanica cuantica: Si las transformaciones de un grupo de Lie dejan invariante el hamiltoniano de un sistema, entonces los generadores del grupo corresponden a operadores hermticos que conmutan con el hamiltoniano, y son, por tanto, constantes del movimiento. Ademas, corresponden a operadores aditivos, ya que, actuando sobre sistemas compuestos, dan la suma del operador actuando sobre cada subsistema. Teorema El conmutador de dos generadores es una combinacion lineal de los generadores. XX. - X. Xµ = C . X. . En esta expresion, C . son numeros complejos llamados constantes de estructura. La expresion anterior el valida para los generadores como entes abstractos. Por tanto, tambien sera valida para cualquier representacion de los generadores, como matrices o como operadores lineales. ´ Algebra de Lie: El espacio vectorial de dimension r obtenido de todas las combinaciones lineales de los generadores del grupo, junto con la operacion interna de nida por el conmutador, forma una estructura denominada algebra de Lie. A cada grupo de Lie le corresponde un algebra de Lie. Un subespacio vectorial de un algebra de Lie que cumpla que el conmutador de dos operadores cualesquiera del subespacio, pertenece al mismo subespacio, forma un sub-algebra, y se dice que cierra ante conmutacion. 65 Siel on r de un grupo de orden r contiene un sub- algebra de Lie de dimensialgebra de dimension s, entonces con s generadores independientes contenidos en el sub-algebra puede generarse un subgrupo del grupo original de orden s. Si el algebra de Lie de dimension r de un grupo puede expresarse como suma directa de dos sub-algebras de dimensiones s y r ..s, tales que los operadores de las dos sub-algebras conmutan entre s, entonces el grupo puede expresarse como producto directo de los dos subgrupos de orden s y r - s, generados a partir de las sub-algebras. 7.2 Grupo U(1) De nicion: Es el grupo de las transformaciones que son isomorfas a las matrices unitarias de dimension 1. g() . exp(i), f . [0, 2]. Es un grupo compacto de orden 1. Generadores: Para valores de f peque~nas, g()= e + iX. X es el generador. Representacion fundamental: Es la que se in ere de la de nicion del grupo. Df () = exp(i). En esta representacion, X = 1. Representacion conjugada: Dc() = exp(..i). En esta representacion, X = ..1. Otras representaciones: Se obtienen a partir de productos de la representacion fundamental y de su conjugada. En general, pueden expresarse D(m)() = exp(im), donde m es un entero. En esta representacion, X = m. Todas las representaciones irreducibles son de dimension 1. Producto de representaciones: El producto de las representaciones (m1)y(m2) es la representacion (m1 + m2), ya que D(m1)()D(m2)()= D(m1+m2)(). Ejemplo: El grupo U(1) describe las transformaciones asociadas a la conservacion de numeros cuanticos aditivos enteros. Por ejemplo, la conservacion de la carga electrica se obtiene a partir de la invariancia del sistema frente al grupo de transformaciones T () = exp(iQ=e). Los autoestados del sistema corresponden a estados que generan representaciones irreducibles del grupo, que corresponden a valores enteros del generador Q=e. Si tenemos un sistema con carga q1 (autoestado del operador Q=e correspondiente al autovalor q1, que genera la representacion irreducible (q1)), y otro sistema con carga q2, el sistema compuesto tiene carga q1 + q2, ya que es autoestado de Q=e correspondiente a ese autovalor, y genera la representacion irreducible (q1 + q2)). ´ La conservacion de la carga en reacciones entre part iculas puede verse como consecuencia del corolario del teorema de Wigner-Eckart, a partir del hecho de que T ()HT +()= H. En la reaccion A + BC + D . < ABjHjCD >=< (qA + qB)jjHjj(qC + qD) >(qA + qB;qC + qD) 7.3 Grupo U(2) De nicion: Es el grupo de las transformaciones que son isomorfas a las matrices unitarias de dimension 2. Es un grupo compacto de orden 4. P3 Generadores: Para valores de i peque~nas, g(i;i =0, 3) = e + i i=0 Xii. Xi son los generadores, que son operadores abstractos que satisfacen las reglas de conmutacion que veremos posteriormente. Representacion fundamental: Es la que se in ere de la de nicion del grupo, consistente en matrices unitarias de dimension 2. Las matrices cercanas a la unidad pueden 66 expresarse en funcion de una matriz a, de dimension 2 y elementos in nitesimales, Df (a)= I(2) + ia Considerando que las transformaciones son unitarias, se llega a que a es hermtica. Por tanto, puede escribirse como combinacion de la matriz unidad y las matrices de Pauli. Por tanto, Df (0;1;2;3)= I(2) + i(0I(2) + 11 + 22 + 33) Reglas de conmutacion De lo anterior se deduce que los generadores de U(2), en la representacion fundamental, vienen caracterizados por la matriz unidad en dos dimensiones, mas las tres matrices de Pauli. En general, los generadores X0;X1;X2;X3 satisfacen las mismas reglas de conmutacion que I(2);1;2;3. Como la matriz unidad conmuta con todas las demas, y las matrices de Pauli cierran ante conmutacion, el algebra de U(2) puede expresarse como suma directa de dos subalgebras, una generada por X0, y otra por X1;X2;X3. El grupo U(2) se puede expresar como el producto directo de los grupos asociados a las subalgebras, que son U(1) y SU(2). Por tanto, U(2) = U(1)SU(2) 7.4 Grupo SU(2) De nicion: Es el grupo de las transformaciones que son isomorfas a las matrices unitarias con determinante 1 de dimension 2. Es un grupo compacto de orden 3. P3 Generadores: Para valores de i peque~nas, g(i;i =1, 3) = e + i i=1 Xii. Xi son los generadores, que son operadores abstractos que satisfacen las reglas de conmutacion que veremos posteriormente. Representacion fundamental: La condicion de que el determinante de Df (a) sea 1 hace que Tr(a) = 0. Por tanto, la representacion fundamental de las transformaciones in nitesimales del grupo SU(2) puede expresarse por Df (1;2;3)= I(2) + i(11 + 22 + 33) Reglas de conmutacion: De lo anterior se deduce que los generadores de SU(2), en la representacion fundamental, vienen caracterizados por las tres matrices de Pauli. Las matrices de Pauli cumplen [1;2]=2i3, con todas las permutaciones circulares de i ndices. En general, los generadores X1;X2;X3 satisfacen las mismas reglas de conmutacion que 1;2;3. Si se rede nen los generadores como Ii = Xi=2, las relaciones de conmutacion resultan [I1, I2]= iI3, que corresponden a las de un momento angular. El algebra del  grupo SU(2) es isomorfa al algebra del grupo de las rotaciones. Por tanto, las representaciones irreducibles, series de Clebsh-Gordan, y coe cientes de Clebsh-Gordan de ambos grupos son equivalentes. Representaciones irreducibles: La representacion fundamental tiene dimension 2, y en ella los generadores vienen caracterizados por las matrices de Pauli. Los estados base de esta representacion pueden caracterizarse por jF;i >, donde F caracteriza la representacion fundamental, e i va de 1 a 2. En esa base, los elementos de matriz de los generadores del grupo vienen dados por < F;i0jXajF;i >=(a)i0i Las demas representaciones irreducibles se obtienen realizando el producto de la representacion fundamental por si misma, y actuando con los operadores de Young relevantes. 67 Vienen caracterizadas por el autovalor de I2 = I12 +I22 +I32, que es I(I +1). La dimension de la representacion es 2I + 1. I = 0 corresponde a la representacion trivial. I =1=2 corresponde a la representacion fundamental. La representacion conjugada a la representacion fundamental es equivalente a la representacion fundamental. Para caracterizar los estados dentro de la representacion irreducible, pueden tomarse autoestados de I3, caracterizados por su autovalor M. Por tanto, los estados que pertenecen a un subespacio que genera una representacion irreducible pueden etiquetarse por jIM >, donde I indica la representacion irreducible y M especi ca el estado concreto. Producto de representaciones: El producto de dos representaciones I1 × I2 se descompone en suma de representaciones irreducibles, dadas por jI1 - I2| + :::. +(I1 + I2). Los estados producto se expresan en funcion de los estados que generan representaciones irreducibles mediante los coe cientes de Clebsh-Gordan habituales: jI1M1; I2M2 >= < IMjI1M1;I2M2 > j(I1I2)IM > I;M Ejemplo: El grupo SU(2) describe las transformaciones entre partculas de un multiplete de isospn. T (a1;a2;a3)= I + i(a1I1 + a2I2 + a3I3) Representaciones irreducibles: j. > : I = 0. jp >, jn> : I =1=2 ... Sistemas compuestos de dos hadrones A y B pertenecientes a multipletes a y : jAB >= j IAMA > j IBMB >= I;M < IMjIAMA;IBMB > j( )IM > Si [H, Ii] = 0, T (a1;a2;a3)HT +(a1;a2;a3)= H, Degeneracion: La masa de todos los hadrones pertenecientes a un multiplete son iguales. m(A)==< IAMAjHj IAMA >=< IAjjHjj IA > Probabilidades de decaimiento: =< IC jjHjj( )IC > 7.5 Grupo SU(3) De nicion: Es el grupo de las transformaciones que son isomorfas a las matrices unitarias con determinante 1 de dimension 3. P8 Generadores: Para valores de i peque~nas, g(i;i =1, 8) = e + i i=1 Xii. Xi son los generadores, que son operadores abstractos que satisfacen las reglas de conmutacion que veremos posteriormente. Representacion fundamental: Es la que se in ere de la de nicion del grupo, consistente en matrices unitarias con determinante 1 de dimension 3. Las matrices cercanas a la unidad pueden expresarse en funcion de una matriz in nitesimal a, de dimension 3, Df (a)= I(3) + ia Considerando que las matrices Df son unitarias y con determinante 1, se llega a que a es hermtica y con traza nula. Por tanto, puede escribirse como combinacion de ocho 68 matrices hermticas de traza nula, y linealmente independientes. Para ello, se toman las matrices de Gell-Mann, de nidas como: = B. 1 0 1 0 1 . 010 0 ..i 0 0 100 100 CA , 2 = B@ i CA , 3 = B. CA 0 0 ..10 0 1 , 000 000 0 0 1 0 1 0 1 . B. 001 00 ..i 0 000 CA B. CA B. CA 000 00 001 4 5 6 = = = = , , , 100 i 0 0 010 0 1 0 . 000 100 B. CA , 8 = 1p3 B. CA 00 ..i 0 01 0 7 0 i 00 ..2 Por tanto, puede escribirse, para transformaciones peque~nas caracterizadas por los parametros i, 8 Df (i;i =1, 8) = I(3) + i( ii) i=1 Las matrices de Gell-Mann se caracterizan porque Tr(i)=0y Tr(2 i ) = 2. Reglas de conmutacion: De lo anterior se deduce que los generadores de SU(3), en la representacion fundamental, vienen caracterizados por las ocho matrices de Gell-Mann. Las matrices de Gell-Mann cumplen [a;b]=2i c fabcc. Los valores de fabc son las constantes de estructura del grupo SU(3). Los generadores abstractos Xi satisfacen unas relaciones de conmutacion dadas por [Xa;Xb]=2i c fabcXc Subgrupos: X1, X2 y X3 cierran ante conmutacion. Generan un subgrupo SU(2) del grupo SU(3). Ademas, X8 conmuta con X1, X2 y X3. Por tanto, estos cuatro generadores generan un grupo U(2), o SU(2)U(1). 7.5.1 Representaciones irreducibles de SU(3) La representacion fundamental tiene dimension 3, y en ella los generadores vienen caracterizados por las matrices de Gell-Mann. Los estados base de esta representacion pueden caracterizarse por jF;i >, donde F caracteriza la representacion fundamental, e i va de 1 a 3. En esa base, los elementos de matriz de los generadores del frupo vienen dados por < F;i0jXajF;i >=(a)i0i Si hacemos el producto de la representacion fundamental por si misma, obtenemos una representacion de dimension 9, cuyos estados base pueden escribirse como jF 2;ij >. En ella, los generadores vienen descritos por las matrices: =(a)i0ij0j + i0i(a)j0j Esta representacion es reducible. Para obtener las representaciones irreducibles, actuamos sobre el espacio vectorial generado por jF 2;ij > con el simetrizador S12 y el antisimetrizador A12, con respecto a los ndices i, j. De esta forma, el espacio vectorial de dimension 9 se descompone en suma directa de in espacio vectorial de dimension 6, descrito por los estados base F 2;ii > y F 2;ij > +F 2;ji >;i = j, y otro espacio vectorial de dimension 3, descrito por jjF 2;ij > j ..jF 2;ji >;i j=6j. 6 69 En general, si hacemos el producto de la representacion fundamental por si misma n veces, obtenemos una representacion de dimension 3n, cuyos estados base pueden escribirse como jF n;i1:::in >. Esta representacion es reducible. Para obtener las representaciones irreducibles actuamos sobre el espacio vectorial producto con los operadores de Young asociados a diagramas de Young con n cuadros. Estos operadores simetrizan o antisimetrizan los ndices, proyectando sobre estados con una simetra determinada, De esta forma, se obtienen los subespacios vectoriales que generan las representaciones irreducibles. Los subespacios vectoriales que corresponden a operadores de Young que provienen del mismo diagrama de Young dan representaciones irreducibles equivalentes. Por tanto, las representaciones irreducibles de SU(3) que pueden caracterizarse por el diagrama de Young [Y ]. As, la representacion fundamental corresponde al diagrama [1]. La representacion simetrica descrita anteriormente corresponde a [2], y la representacion anti-simetrica a [1, 1]. Un estado invariante frente a las transformaciones del grupo genera la representacion trivial. El diagrama [1, 1, 1] lleva asociado el antisimetrizador A123. Actuando sobre cualquier estado producto jF 3, ijk > genera el estado jA>= ijk eijkjF 3, ijk >. Este estado es invariante frente a las transformaciones del grupo, y genera la representacion trivial. Demostracion: A cada elemento del grupo g le corresponde un operador U(g) que actua sobre los estados de la representacion fundamental de forma que: U(g)jF;i >= i. Ui0i(g)jF, i. > Por tanto, sobre el estado A> actua de forma que U(g)A>= eijkUi0i(g)Uj0j(g)Uk0k(g)F 3;i0j0k. >ji0j0k. ijk j Si embargo, la expresion es corchetes es simplemente Det(U(g))ei0j0k. , y como Det(U(g)) = 1, por la de nicion del grupo, se tiene que U(g)jA>= jA>, por lo que la representacion [1, 1, 1] corresponde a la representacion trivial. No todos los diagramas de Young de n cuadros generan representaciones irreducibles de SU(3). Los ndices i1:::in del estado producto toman valores de 1 a 3. Por tanto, si el operador de Young contiene un antisimetrizador con respecto a mas de tres ndices, su accion sobre el estado producto lo anula. Por ello, solo deben considerarse los diagramas de Young con tres las como maximo. La dimension de la representacion irreducible de SU(3) correspondiente a un diagrama de Young determinado puede obtenerse viendo los posibles formas en las que los cuadros del tablero pueden numerarse con los numeros 1, 2 y 3 de forma que los numeros sean mayores o iguales conforme se avanza en cada la, y sean estrictamente mayores conforme se avanza en cada columna. Este criterio simplemente cuenta los estados del estado producto que dan resultados diferentes tras ser proyectados con el operados de Young. Con este criterio, se obtiene d([1, 1, 1]) = 1, d([2, 1]) = 8, d([3]) = 10. 7.5.2 Caracterizacion de los estados. Diagramas de pesos. De la misma forma que en el grupo SU(2) se caracterizan los estados de una representacion irreducible de forma que sean autoestados del generados I3, en el grupo SU(3) puede hacerse lo propio. Los generadores X3 y X8 conmutan entre s, por tanto ambos pueden 70 tomarse para caracterizar los autoestados de una representacion irreducible. Resulta conveniente rede nirlos de forma que llamemos I3 = X3=2, Y = X8=p3. Una representacion de los estados de una representacion irreducible de SU(3) como puntos en el plano (I3;Y ) es un diagrama de pesos. No obstante, puede haber varios estados de una representacion irreducible de SU(3) que tengan los mismos pesos (I3;Y ). Para diferenciarlos, puede considerarse que estos estados pertenecen a distintas representaciones irreducibles del grupo SU(2) generado por X1;X2yX3. Estas representaciones irreducibles se caracterizan por I. Por tanto, los estados base de una representacion irreducible de SU(3) vienen caracterizados por j[Y ];I;I3;Y >. Con frecuencia, en lugar del diagrama de Young [Y ], se utiliza la dimension correspondiente este diagrama N para caracterizar la representacion irreducible. 7.5.3 Caracterizacion de los generadores. Diagramas de races. De los generadores del grupo SU(3), la accion de X3 y X8 sobre los estados de una base de una representacion irreducible de SU(3) caracterizada por j[Y ];I;I3;Y > es trivial. El resto de los generadores pueden de nirse como: I± =(X1 ± iX2)=2, U± =(X6 iX7)=2, V± =(X4 ± iX5)=2. Con esta de nicion, y usando las reglas de conmutacion, se obtiene que I+(I..) aumenta (disminuye) I3 en una unidad y deja Y invariante, U+(U..) disminuye (aumenta) I3 en 1=2 y aumenta (disminuye) Y en una unidad, y U+(U..) aumenta (disminuye) I3 en 1=2 y aumenta (disminuye) Y en una unidad. Gra camente, en el plano (I3;Y ) los generadores pueden caracterizarse como vectores (ver gura). De esta forma, cuando un generador actua sobre un estado inicial de una representacion irreducible caracterizado por un peso determinado, nos da otro estado caracterizado por un peso nal que es la suma del peso inicial mas el vector correspondiente al operador. Si el peso nal no formara parte del diagrama de pesos de la representacion, entonces el generador actuando sobre el estado inicial da cero. 7.5.4 Representaciones principales de SU(3) Representacion singlete. Caracterizada por [1, 1, 1]. Tiene dimensi´ on N=1. Su unico estado viene dado por j1;I =0;I3 =0;Y =0 >. Representacion fundamental. Caracterizada por [1]. Tiene dimension N=3. Sus estados vienen dados por j3;I =1=2;I3 = (1=2, ..1=2);Y =1=3 > j3;I =0;I3 =0;Y = ..2=3 >. Representacion simetrica. Caracterizada por [2]. Tiene dimension N=6. Sus estados vienen dados por j6;I =1;I3 = (1, 0, ..1);Y =2=3 > j6;I =1=2;I3 = (+1=2, ..1=2);Y = ..1=3 > j6;I =0;I3 =0;Y = ..4=3 >. 71 Representacion anti-simetrica. Caracterizada por [1, 1]. Tiene dimension N=3. Es equivalente a la representacion conjugada de la fundamental. Sus estados vienen dados por |   3;I =1=2;I3 = (1=2, ..1=2);Y = ..1=3 > j3;I =0;I3 =0;Y =2=3 >. Representacion decuplete. Caracterizada por [3]. Tiene dimension N=10. Sus estados vienen dados por j10;I =3=2;I3 = (3=2, 1=2, ..1=2, ..3=2);Y =1 > j10;I =1;I3 = (1, 0, ..1);Y =0 > j10;I =1=2;I3 = (+1=2, ..1=2);Y = ..1 > j10;I =0;I3 =0;Y = ..2 >. Representacion octete Caracterizada por [2, 1]. Tiene dimension N=8. Sus estados vienen dados por j8;I =1=2;I3 = (1=2, ..1=2);Y =1 > j8;I =1;I3 = (1, 0, ..1);Y =0 > j8;I =0;I3 =0;Y =0 > j8;I =1=2;I3 = (+1=2, ..1=2);Y = ..1 >. 7.5.5 Descomposicion de representaciones producto de SU(3) Series de Clebsh-Gordan de SU(3) Las series de Clebsh-Gordan las representaciones irreducibles relevantes son las siguientes: [1] × [1] = [2]+[1, 1] [2] × [1] = [3]+[2, 1] [1, 1] × [1] = [2, 1] + [1, 1, 1] [3] × [2, 1] = [5, 1] + [4, 2] + [3] + [2, 1] [2, 1] × [2, 1] = [4, 2] + [2, 1] + [2, 1] + [3] + [3, 3] + [1, 1, 1] Coe cientes de Clebsh-Gordan Nos dan el desarrollo de producto de estados pertenecientes a representaciones irreducibles de SU(3), en terminos de estados pertenecientes a representaciones irreducibles de SU(3). Se expresan segun: < NaIaI3aYa; NbIbI3bYbjKNII3Y>= < NaIaYa; NbIbYbjjKNII3Y> (Ya + Yb;Y )(I3a + I3b;I3) En esta expresion, las d provienen del caracter aditivo de I3 e Y . El coe ciente de Clebsh- Gordan usual proviene de que los estados generan representaciones irreducibles de SU(2), y la expresion con la doble barra representa el valor del coe ciente isoscalar de SU(3), ´ que esta tabulado en la tabla adjunta. K es un indice adicional que es necesario en los coe cientes 8 × 88, ya que se repite la representacion irreducible en la serie de ! Clebsh-Gordan. 72 7.6 Problemas 1) Considera tres estados fa, b, c} que constituyen una base de la representacion fundamental de SU(3), [1]. Partiendo de los estados de la representacion producto [1] × [1], obten los estados de las representaciones irreducibles [2] y [1, 1] actuando con los operadores de Young. Partiendo de los estados de la representacion producto [1] × [1] × [1], obten los estados de las representaciones irreducibles [3], [2, 1] y[1, 1, 1] actuando con los operadores de Young. 2) Considera el grupo SU(3). Obtener el diagrama de pesos de la representacion fundamental [1]. Obtener el diagrama de pesos de la representacion producto [1] × [1]. Nota: como los generadores son aditivos, los valores de I3 e Y del estado producto jij > son los de ji> mas los de jj>. Descomponer este diagrama de pesos en los de las representaciones irreducibles [2] y [1, 1]. Comprobar que la representacion conjugada de [1] es [1, 1]. Nota: en la representacion conjugada, los generadores, y en concreto I3 e Y , tienen signo opuesto. 3) Obtener el diagrama de pesos de [2] × [1] y de [1, 1] × [1]. Descomponerlo en los de las representaciones irreducibles correspondientes. 4) Obtener el diagrama de pesos de la representacion [2, 1][2, 1]. Esta representacion se descompone en suma de las representaciones irreducibles [1, 1, 1] + [2, 1] + [2, 1] + [3] + [3, 3] + [4, 2]. Deducir el diagrama de pesos de la representacion [4, 2], suprimiendo del diagrama de la representacion producto los pesos de las otras representaciones, y considerando que la representacion [3, 3] es la conjugada de [3]. 4) Obtener las representaciones irreducibles de SU(2) contenidas en [4, 2]. Identi car los estados base jI;I3;Y > correspondientes en el diagrama de pesos. 5) Considera el estado cuyo peso es (Y =2;I3 = 1). ż Como actuan (cualitativamente) los 8 generadores del grupo sobre el? 73 Chapter 8 Modelo SU(3) de sabor 8.1 Octetes, decupletes y singletes de hadrones En la naturaleza, los bariones y los mesones aparecen a muchas energas. No obstante, los valores del isospn y la hipercarga no aparecen de forma arbitraria. Por ejemplo, si consideramos los bariones de espn 1/2 y paridad positiva, J =1=2+ , nos aparecen: Los nucleones, proton y netron, (Y=1, I=1/2) con masa promedio 939 MeV. Las S (Y=0, I=1) con masa promedio 1192 MeV. La . (Y=0, I=0) con masa 1115 MeV. Las . (Y=-1, I=1/2) con masa promedio 1315 MeV. Los numeros cuanticos de estas partculas corresponden a los de la representacion octete del grupo SU(3). Del mismo modo, si consideramos las partculas con J =3=2+, aparecen: Las resonancias , (Y=1, I=3/2), con masa promedio 1232 MeV Las resonancias * (Y=0, I=1), con masa promedio 1381 MeV Las resonancias * (Y=-1, I=1/2), con masa promedio 1532 MeV La O (Y=-2, I=0), con masa 1672 MeV. Los numeros cuanticos de estas partculas corresponden a la representacion decuplete de SU(3). Si consideramos las partculas con J =1=2.., encontramos, a energas bajas solo una ´ resonancia * (Y=0, I=0), con masa 1405 MeV. Esta corresponde a la representacion singlete de SU(3). Del mismo modo, todas las demas resonancias de bariones pueden agruparse como singletes, decupletes u octetes. En los mesones pseudo-escalares J =0.., aparecen: Los kaones K (Y=1, I=1/2), con masa 494 MeV, Los piones p (Y=0, I=1), con masa 139 MeV, La . (Y=0, I=0), con masa 547 MeV,  Los anti-kaones K (Y=-1, I=1/2), con masa 494 MeV. Los numeros cuanticos de estas partculas corresponden a la representacion octete. Por otro lado, el meson . (Y=0, I=0), con masa 958 MeV, corresponde a la representacion singlete. 74 En los mesones vectoriales J =1.., aparecen: Las resonancias de los kaones K* (Y=1, I=1/2), con masa 892 MeV, Las . (Y=0, I=1), con masa 770 MeV, La . (Y=0, I=0), con masa 782 MeV, Los anti-kaones K (Y=-1, I=1/2), con masa 892 MeV. Los numeros cuanticos de estas partculas corresponden a la representacion octete. Por otro lado, el meson f (Y=0, I=0), con masa 958 MeV, corresponde a la representacion singlete. Los demas mesones pueden agruparse en singletes u octetes. Este hecho lleva a considerar que los hadrones que aparecen en la naturaleza generan representaciones irreducibles de un grupo SU(3) de transformaciones, que contiene al grupo SU(2) de las transformaciones de isospn y al grupo U(1) de las transformaciones generadas por la hipercarga. Este grupo, llamado grupo SU(3) de sabor (avor), o grupo SU(3)F , tiene como generadores, ademas de Y, I3;I+;I.., los operadores U+;U..;V+;V- que cambian el valor del isospn y la hipercarga. 8.2 Formulas de masas Si el hamiltoniano que describe las masas de los hadrones fuera invariante frente a la simetra SU(3)F , entonces todas las partculas de un multiplete tendran la misma masa. Este no es el caso. Los hadrones con J =1=2- tienen una masa promedio de unos 1100 MeV, y unas desviaciones con respecto a este valor de unos 200 MeV. Esto indica que la mayor parte del hamiltoniano va a ser invariante frente a transformaciones del grupo SU(3)F , pero hay una parte signi cativa que no lo es. Para describir este hecho, podemos desarrollar el hamiltoniano en operadores tensoriales del grupo SU(3)F , de forma que tendremos: H = H(N =1;I =0;I3 =0;Y = 0)+ H(N, I, I3;Y ) N=1;I;I3;Y El primer termino es invariante frente a las transformaciones de la simetra SU(3)F . De todas las contribuciones posibles al segundo termino, deben considerarse aquellas que conserven el isospn y la hipercarga, ya que sabemos que la interaccion fuerte conserva estas magnitudes. Por tanto, solo deben aparecer operadores para los que I = I3 = Y = 0. No obstante, esto limita el numero de representaciones N, ya que solo algunas representaciones tienen estados con I = I3 = Y = 0. Estas representaciones son el octete, Y = [2, 1], N = 8, la representacion Y = [4, 2], N = 27, la representacion Y = [6, 3], etc. Nuestro objetivo es describir las diferencias de masas dentro de un multiplete. Para ello, tomaremos el primer termino del desarrollo anterior que viola la simetra SU(3)F , que es el del octete. Por tanto, podemos aproximar: H = H(N =1;I =0;I3 =0;Y = 0)+ H(N =8;I =0;I3 =0;Y = 0) = H1 + H8 Las masas de las partculas de un multiplete se obtienen como el elemento de matriz del ´ hamiltoniano. Como las part iculas corresponden a representaciones irreducibles del grupo SU(3)F (singlete, octete y decuplete), y el hamiltoniano esta desarrollado en terminos de operadores tensoriales del mismo grupo, pertenecientes a la representacion singlete y octete, los elementos de matriz pueden obtenerse en funcion de los coe cientes de Clebsh- Gordan de SU(3) utilizando el teorema de Wigner-Eckart. 75 Hadrones pertenecientes a un singlete M() =< 1jjH1jj1 > La parte octete de H, H8, no contribuye a la masa de los hadrones del singlete. Hadrones pertenecientes a un decuplete M() = < 10jjH1jj10 > + < 10jjH8jj10 > (1=p8) M() = < 10jjH1jj10 > + < 10jjH8jj10 > (0=p8) M() = < 10jjH1jj10 > + < 10jjH8jj10 > (..1=p8) M( ) = < 10jjH1jj10 > + < 10jjH8jj10 > (..2=p8) Estas expresiones pueden escribirse en forma compacta, llamando M10 =< 10jjH1jj10 >, y10 = - < 10jjH8jj10 >=p8. Se tiene entonces que M(N = 10;I;Y )= M10 - Y 10 Esta expresion predice una relacion entre las masas de las partculas del decuplete dadas por M( ) - M() = M() - M() = M() - M(), que se cumplen para el decuplete de bariones con J =3=2+ . En concreto, si se toma M10 = 1380 MeV y 10 = 145 MeV, se reproducen con buena precision las masas del decuplete de bariones con J =3=2+ . Hadrones pertenecientes a un octete En este caso, hay que considerar que hay dos elementos de matriz reducidos y que acoplan las representaciones octete 8 × 8 8. . M(N)= < 8jjH1jj8 > + < 8;K =1jjH8jj8 > (..1=2p5)+ < 8;K =2jjH8jj8 > (..1=2) M() = < 8jjH1jj8 > + < 8;K =1jjH8jj8 > (..1=p5)+ < 8;K =2jjH8jj8 > (0) M() = < 8jjH1jj8 > + < 8;K =1jjH8jj8 > (+1=p5)+ < 8;K =2jjH8jj8 > (0) M() = < 8jjH1jj8 > + < 8;K =1jjH8jj8 > (..1=2p5)+ < 8;K =2jjH8jj8 > (+1=2) Estas expresiones pueden escribirse en forma compacta, llamando M8 =< 8jjH1jj8 >, 8 = - < 8;K =2jjH8jj8 >=2y08 =< 8;K =1jjH8jj8 >=p5. Se tiene entonces que M(N =8;I;Y )= M8 - Y 8 +(I(I + 1) - Y 2=4 - 1)0 8 Esta expresion predice una relacion entre las masas de las partculas del octete dada por M() = 2=3(M() + M(N)) - 1=3M(), que se cumplen para el octete de bariones con J =1=2+ . En concreto, si se toma M8 = 1150 MeV, 8 = 188 MeV, y 08 = 38:5 MeV, se reproducen con buena precision las masas del octete de bariones con J =1=2+ . En el caso de los mesones, las mismas formulas seran validas en principio. Sin embargo, en los octetes de mesones aparencen partculas y antipartculas, y sus masas deben ser iguales por el teorema CPT . Por ello, el parametro 8, que da una contribucion lineal en Y a la masa que sera distinta para partcula y antipartcula, debe anularse. Por tanto, para los mesones del octete, las formula de masas es M(N =8;I;Y )= M8 +(I(I + 1) - Y 2=4 - 1)08 Esta expresion predice una relacion entre las masas de los mesones con J =0- dada por M()=4=3(M(K)) - 1=3M(), que da 619 MeV. Esta masa no es compatible con la de la , que es 549 MeV, ni con la 0, que es 958 MeV. 76 8.3 Mezcla de representaciones Vamos a considerar que los mesones que aparecen en la naturaleza . y 0, son combinaciones de dos estados 8 y 1. El primero pertenece a una representacion octete, junto con los piones y kaones. Su masa M(8)=<8jHj8 > viene dada por la relacion anterior y es 619 MeV. El segundo genera una representacion singlete, y su masa es M(1)=<1jHj1 >. Estos estados, aunque pertenecen a representaciones irreducibles diferentes, no di eren mucho en masa, y estan conectados por el termino H(N = 8) del hamiltoniano. Llamando . =<1jHj8 >, las masas de los mesones . y . se obtienen diagonalizando la matriz 22 que describe el hamiltoniano. A partir de la conservacion de la traza, se tiene M(1)+ M(8)= M()+ M(0), de donde se deduce M(1) = 888 MeV. A partir de la conservacion del determinante, se tiene M(1)M(8) - 2 = M()M(0), de donde . = 154 MeV. Finalmente, los estados fsicos j> y j. > vienen dados por j> = j8 > cos . + j1 > sin . j. > = ..j8 > sin . + j1 > cos . donde . = 24 deg. La mezcla de representaciones es importante para los mesones, ya que las representaciones octete y singlete correspondientes a partculas con el mismo espn y paridad aparecen a energas proximas. La estructura de nueve estados, formada por un octete y un singlete, en el que los estados con I =0;Y = 0 del octete y el singlete pueden mezclarse, se denomina nonete. En el caso de los bariones podra darse mezcla de representaciones del octete y el singlete, para los estados con I =0;Y = 0, o bien mezcla del octete y el decuplete para los estados con I =1;Y =0o I =1=2;Y = ..1. No obstante, estas mezclas no son importantes ya que los multipletes de hadrones con el mismo espn y paridad aparecen a energas bastante distintas. 8.4 Aplicaciones de la simetra SU(3) Hemos visto que la parte principal de la interaccion fuerte es invariante frente a la simetra SU(3)F . Si consideramos solamente el efecto del termino H1, pueden obtenerse las relaciones siguientes: 8.4.1 Decaimiento fuerte de hadrones Si tenemos un hadron jA>, descrito por j , NA;IA;I3A;YA >, que decae en dos hadrones jB> y jC>, descritos por j , NB;IB;I3B;YB > y j, NC;IC ;I3C;YC >, habamos visto que la conservacion del isospn implicaba que el elemento de matriz del hamiltoniano ´ pod ia expresarse en funcion de un coe ciente de Clebsh-Gordan de SU(2) y un elemento de matriz reducido =< ;NA;IA;YAjjHjj , NB;IB;YB; , NC ;IC ;YC >< IAI3AjIBI3B; IC I3C > La conservacion de la simetra SU(3)F implica que el elemento de matriz reducido puede expresarse en terminos de los coe cientes de Clebsh-Gordan de SU(3): < ;NA;IA;YAjjHjj , NB;IB;YB; , NC ;IC ;YC >. < ;NA;KjjH1jj , NB; , NC >< NA;IA;YA;KjNB;IB;YB; NC ;IC ;YC > K 77 De esta forma, todos los elementos de matriz para el decaimiento de partculas del multiplete a a partculas de los multipletes ß y . vienen dadas en funcion de los terminos < ;NA;KjjH1jj , NB; , NC >. 8.4.2 Constantes de acoplamiento fuerte La conservacion del isospn hace que la constante de acoplo g(A, BC) se exprese como g(A, BC)=g( NAIAYA; NBIBYB, NCIC YC ) La conservacion de la simetra SU(3)F hace que g( NAIAYA; NBIBYB, NCIC YC ) g( NA;K; NB, NC ) K De esta forma, todas las constantes de acoplo de las partculas que pertenecen a un multiplete vienen dadas en funcion una o dos constantes g( NA;K; NB, NC ). 8.4.3 Constantes de la corriente debil La interaccion debil no conserva el isospn ni la hipercarga, por lo que obviamente no conserva la simetra SU(3)F . No obstante, el hamiltoniano de la interaccion debil siempre puede desarrollarse en operadores tensoriales del grupo SU(3)F . Sabemos que la interaccion debil puede modi car la hipercarga en una unidad, Y = 1, en cuyo caso I3 = 1=2, o bien mantener la hipercarga Y = 0, en cuyo caso I3 = 1, 0. Ese comportamiento es el de los generadores del grupo SU(3)F , que generan una representacion octete. Por tanto, las constantes de la corriente debil vector y axial, entre partculas A y B que pertenecen al multiplete N pueden expresarse AB K gv;a != gv;a(I;I3;Y ) < NIBI3BYBKj8II3Y, NIAI3AYA > K;I;I3;Y Esta expresion permite, por ejemplo, relacionar las constantes de la corriente debil vector y axial para los procesos np,- 0,- , 0 +,. +,- 0, todos K !!!!. ! los cuales provienen de gv;a(I =1;I3 =1;Y = 0). 8.5 Problemas 1) A 2350 MeV existe una resonancia (2350). Esta resonancia decae por interaccion fuerte en un barion del octete con J =1=2+, y un meson del octete con J =0... a) Encontrar en que parejas de partculas puede decaer, conservando los numeros cuanticos aditivos. b) Como estan relacionadas las probabilidades de decaimiento a estas parejas por la conservacion del isospn. c) Considerando la simetra SU(3), como estan relacionados los elementos de matriz del hamiltoniano para los distintos decaimientos, si (2350) constitute un singlete de SU(3). d) Lo mismo, si forma parte de un octete. 78 2) Los mesones vectoriales J =1.., forman un nonete, con (770) (I=1,Y=0), K(892)  (I=1/2,Y=1), K(892) (I=1/2,Y=-1), !(783) (I=0,Y=0), (1020) (I=0,Y=0), de forma que las dos on del octete !8 y uno del singlete !1. ultimas son mezcla de un mes a) Obtener las masas de !8 y !1. b) Obtener el termino que mezcla octete y singlete, el termino M8 y el termino 8,y compararlos con los del nonete de mesones pseudoescalares J =0... c) Obtener la funcion de onda de !(783) y (1020), en funcion del angulo de mezcla. 3) Considera las resonancias de los bariones con J =1=2+ , N(1440), (1600), (1660). Considerando que forman parte de un octete, a) Predecir la energa a la que debe aparecer una resonancia . con J =1=2+ . b) Calcular los terminos M8,8 y08, y compararlos con los del octete fundamental 79 Chapter 9 Modelo de Quarks El modelo SU(3)F permite relacionar muchas propiedades de los hadrones. No obstante, es un modelo fenomenologico, que no explica el origen de dicha simetra. En concreto, no explica por que en para los bariones solo aparecen las representaciones N=1, N=8 y N=10, mientras que para los mesones aparecen N=1 y N=8. Es especialmente llamativo que en la naturaleza no aparezca la representacion fundamental de SU(3)F , N=3. 9.1 Los quarks como representacion fundamental de SU(3) de sabor La hipotesis fundamental del modelo de quarks es que existe una partcula, llamada quark, con tres estados internos o \sabores", llamados u, d y s, que generan la representacion fundamental del grupo SU(3)F . Estos tres estados, por tanto, son autoestados de I3 e Y , correspondiente a los autovalores mostrados en la tabla. Por la relacion de Q=e = I3 +Y=2, se tiene que los estados u, d y s tienen carga fraccionaria. Los bariones aparecen en las representaciones N=1, N=8 y N=10, cuyos diagramas de Young son [1, 1, 1], [2, 1], [3]. Estas representaciones son las que aparecen al descomponer la representacion producto [1] × [1] × [1] en representaciones irreducibles. Por tanto, se considera que los bariones son sistemas de tres quarks. Como todos los bariones tienen B=1, y el numero barionico es aditivo, todos los estados del quark deben tener B =1=3. A partir de la relacion Y = B + S, se obtiene la extra~neza de los quarks. I3 Y Q/e B S u 1/2 1/3 2/3 1/3 0 d -1/2 1/3 -1/3 1/3 0 s 0 -2/3 -1/3 1/3 -1  La antipartcula del quark, el antiquark, tiene tres estados o \sabores", u, d, s, cuyos numeros cuanticos aditivos son los opuestos a los de los estados u, d, s. Los tres estados del antiquark, por tanto, generan la representacion conjugada a la fundamental, N = 3, descrita por el diagrama [1, 1]. En el modelo de quarks, los mesones son sistemas quarkantiquark. Por tanto, su numero barionico es cero, y aparecen en las representaciones N=1 y N=8 ya que un sistema quark-antiquark, genera la representacion reducible [1] × [1, 1], que se descompone en las representaciones irreducibles [1, 1, 1] + [2, 1]. 80 9.1.1 Funciones de onda de sabor de los hadrones En lo que sigue, se hablara de quarks u, d y s, aunque el concepto correcto es que se trata de estados o \sabores” u, d, s del quark. A partir de los valores de I3 e Y de los bariones, podemos inferir cual es su composicion en quarks. As, la - esta compuesta de tres quarks s: - sss. Igualmente, ++ !. uuu,y- ddd. Por otro lado, + uus,- dds,0 uss,- dss. Ademas, . . !!! 0 y , que tienen el mismo valor de I3 e Y , estan compuestas por uds,0 y n por udd, y+ y n por uud. Para los mesones, compuestos de quarks y antiquarks, podemos hacer lo propio. K- . su, K sd, K+ us, K0 ds. + y + estan compuestos de ud, y - y .. . !! estan compuestos de du. Los mesones totalmente neutros 0;0, , !, f son distintas combinaciones de uu, ddy ss. Los estados concretos de los hadrones generan representaciones irreducibles del grupo SU(3)F . Estos estados se obtienen proyectando con el operador de Young relevante los estados producto de los sabores de los quarks. As, para el decuplete, Y = [3], y el operador es S123. Por tanto, el estado de sabor de la 0 del decuplete es: j0 , 10 >= S123juds >=(juds > +jusd > +jdsu > +jdus > +jsud > +jsdu >)=p6 Este estado genera una representacion irreducible del grupo S3 de las permutaciones de los sabores correspondiente al diagrama [3]. Es, por tanto, la representacion totalmente simetrica. Por otro lado, los diez estados correspondientes al decuplete de hadrones generan una representacion irreducible del grupo SU(3)F , que tambien se caracteriza por el diagrama [3]. Para los estados del singlete, Y = [1, 1, 1], y el operador es A123. Por tanto, el estado de sabor de la . del singlete es: j, 1 >= A123juds >=(juds > ..jusd > +jdsu > ..jdus > +jsud > ..jsdu >)=p6 Este estado genera una representacion irreducible del grupo S3 de las permutaciones de los sabores correspondiente al diagrama [1, 1, 1]. Es, por tanto, la representacion totalmente antisimetrica. Por otro lado, este estado, correspondiente al singlete de hadrones, genera una representacion irreducible del grupo SU(3)F , que tambien se caracteriza por el diagrama [1, 1, 1]. Para los estados del octete, Y = [2, 1], hay dos operadores posibles: A13S12 y A12S13. Por tanto, hay dos estados de sabor posibles linealmente independientes para cada hadron del octete. Estos son, para el proton, jp, 8(A) >= A13S12juud >=(juud > ..jduu >)=p2 jp, 8(B) >= A12S13juud >=(jduu > ..judu >)=p2 Estos dos estados, ortogonalizados, generan una representacion irreducible del grupo S3 de las permutaciones de las variables de sabor correspondiente al diagrama [2, 1]. Una forma conveniente de expresar los estados ortogonales es: jp, 8(1) >=(juud > ..judu >)=p2 jp, 8(2) >=(juud > +judu > ..2jduu >)=p6 Por otro lado, los ocho estados de tipo (1) correspondientes a los hadrones del octete, generan una representacion irreducible del grupo SU(3)F , que tambien se caracteriza por 81 el diagrama [2, 1], y lo mismo ocurre con los ocho estados de tipo (2). Por ejemplo, los estados de la + se obtienen a partir de los anteriores sustituyendo el quark d por el s: j+ , 8(1) >=(juus > ..jusu >)=p2 + j, 8(2) >=(juus > +jusu > ..2jsuu >)=p6 Los estados de la 0 se obtienen actuando con el operador I- sobre los de +: 0 , 8(1) >=(uds > +dus > ..jusd > ..jdsu >)=2 0 , 8(2) >=(uds > + jdus > +usd > j+dsu > j ..2sud > ..2sdu >)=p12 jjjjjjj Los estados de la . son estados del octete ortogonales a los anteriores: j, 8(1) >=(juds > ..jdus > ..jusd > +jdsu >)=2 j, 8(2) >=(juds > ..jdus > +jusd > ..jdsu > ..2jsud > +2jsdu >)=p12 Los estados de sabor de la 0 y de la . del octete di eren porque el primero tiene isospn 1 y el segundo isospn cero, pero ambos estan compuestos por los quarks uds. En el caso de los mesones, las funciones de onda de sabor pueden obtenerse considerando que la funcion de onda de sabor del antiquark es equivalente a la funcion de onda de sabor de dos quarks en combinacion antisimetrica. As, u. ds - sd=p2,  d . su - us=p2ys . ud - du=p2. Por tanto, sustituyendo estas combinaciones en las funciones de onda de los bariones, obtenemos que para los mesones del singlete, la funcion de onda de sabor viene dada por j, 1 >=(jujd js u> +d> +s>)=p3 y para los mesones del octete, tenemos jK+ , 8 >= jujK0 , 8 >= jdjK.., 8 >= s>, s>, jsjK0 , 8 >= jsd >, j, 8 >= jud >, j.., 8 >= ju>,y u>,+ d j0 , 8 >=(ju> ..jd  ud>)=p2 j, 8 >= (2jsu> ..jd  s> ..jud>)=p6 Solo hay un estado de sabor para cada meson del octete, y no hay estados decuplete (10) para los mesones. Ello esta relacionado con el hecho de que, en el producto de la representacion fundamental de SU(3), [1], que corresponde a los quarks, con la representacion conjugada [1, 1], que corresponde a los antiquarks, solo aparecen la representacion singlete [1, 1, 1] y la representacion octete [2, 1]. En el modelo de quarks, la simetra SU(3)F aparece porque las interacciones entre los quarks son independientes del sabor. Las desviaciones de la simetra SU(3)F aparecen debido a que la masa del quark s es superior a la masa de los quarks u y d. Este hecho tambien explica la mezcla de con guraciones que aparece en los mesones. As, si el hamiltoniano que describe al sistema quark-antiquark estuviera determinado por las interacciones entre estos, la simetra SU(3)F sera exacta, y j, N =1 > y j, N =8 > serian los autoestados del hamiltoniano. Por el contrario, si las masas de los quarks fueran determinantes, los autoestados serjsjujd>)=p2. La situaci an s> y(u> +d on fsica real es intermedia entre estos dos casos. 82 9.1.2 Los quarks como fermiones: el color Los quarks, si realmente corresponden a partculas fsicas, deben ser fermiones, ya que tres de ellos forman un fermion, y una pareja quark-antiquark forma un boson. Por tanto, para los tres quarks que forman un barion, su funcion de onda debe ser totalmente antisimetrica frente al intercambio de cualquier pareja de quarks. Por tanto, frente al grupo S3 de las permutaciones de los quarks, la funcion de onda debe pertenecer a la representacion irreducible [1, 1, 1] Intercambiar los quarks es equivalente a intercambiar ´ todas sus variables. Estas son, en principio, las variables orbitales, las de espn y las de sabor. La funcion de onda orbital de los quarks en los bariones, al menos los que aparecen en multipletes a energas mas bajas, como el octete con J =1=2+ y el decuplete con J =3=2+ , debe ser totalmente simetrica, correspondiente a la representacion [3] del grupo S3 de las permutaciones de las variables orbitales. Esto se debe a que corresponden a los sistemas mas ligados de tres quarks. Si la funcion no fuera simetrica, existiran nodos en la funcion de onda cuando las coordenadas de dos de los quarks coincidieran. Estos nodos aumentaran la energa cinetica, y reduciran el efecto de la atraccion de los quarks. Por otro lado, el momento angular orbital de los tres quarks, en su sistema centro de masas, debe ser L = 0. Si no es as, la funcion de onda se anulara en ciertas direcciones, de forma analoga a los armonicos esfericos con L = 0. Frente al grupo S3 de las permutaciones de las variables de espn, la funcion de onda de espn, considerando que los quarks tienen espn s =1=2, es totalmente simetrica [3] cuando el espn total es S =3=2, y tiene simetra mixta [2, 1] cuando el espn total es S =1=2, ya que dos espines se acoplan a S = 0, por lo que sus funciones de onda son antisimetricas. Para las partculas del decuplete con J =3=2+, como L = 0, el espn total de los tres quarks es S =3=2. Por tanto, la funcion de onda de espn es totalmente simetrica [3]. Para las partculas del octete, con J =1=2+, el espn total de los tres quarks es S =1=2. Por tanto, la funcion de onda de espn tiene simetra mixta [2, 1]. Con respecto al grupo S3 de las permutaciones de las variables de sabor, La funcion de onda de las partculas del decuplete es totalmente simetrica [3], mientras que para el octete la funcion tiene la simetra [2, 1]. Si consideramos el grupo S3 de las permutaciones de las variables orbitales, de espn y de sabor, la funcion de onda del decuplete vendra caracterizada por la representacion producto [3] × [3] × [3], que coincide con la representacion totalmente simetrica [3]. Por tanto, aparentemente, no se cumplira el principio de Pauli. La funcion de onda del octete viene caracterizada por la representacion producto [3] × [2, 1] × [2, 1], que contiene las representaciones [3], [2, 1] y [1, 1, 1]. En este caso, si podra satisfacerse el principio de Pauli, si se toman los estados de la representacion [1, 1, 1]. Para resolver estas paradoja, se introduce un nuevo grado de libertad, el color. Existen tres estados de color para los quarks, llamados r, v, a. Se exige que en los bariones, la funcion de onda de color debe ser totalmente antisimetrica frente al grupo S3 del intercambio de los colores de los quarks. As, para caracterizar la funcion de onda de los quarks en los bariones, hay que especi car la funcion de onda orbital, de espn, de sabor y de color. Por tanto, para el grupo S3 de las permutaciones de todas las variables, la funcion de onda de los quarks en el decuplete viene caracterizada por [3] × [3] × [3] × [1, 1, 1], que coincide con la representacion totalmente antisimetrica [1, 1, 1], y es, por tanto, consistente con el principio de Pauli. Para el octete, la funcion de onda viene caracterizada por [3] × [2, 1] × [2, 1] × [1, 1, 1]. Si se toman los estados en los que la funcion de onda es 83 simetrica frente al intercambio de las variables de espn y de sabor, la funcion de onda total es antisimetrica. Es imposible construir una funcion de onda totalmente antisimetrica, que sea simetrica con respecto a las variables orbitales y antisimetrica con respecto a las variables de sabor. Ello explica que no aparezcan singletes a energas bajas en los bariones. La funcion de onda de color de un barion cualquiera viene dada por j c(B) >= A123jrva >=(jrva > ..jrav > +jvar > ..jvra > +jarv > ..javr >)=p6 En el caso de los mesones, las funciones de onda de color pueden obtenerse considerando que la funcion de onda de color del antiquark es equivalente a la funcion de onda de color de dos quarks en combinacion antisimetrica. As, r. va - av=p2, v. ar - ra=p2y a. rv - va=p2. Por tanto, sustituyendo estas combinaciones en las funciones de onda de los bariones, obtenemos que para los mesones, la funcion de onda de color viene dada por j c(M) >=(jr> +jv> +jaa >)=p3 rv El hecho de que los hadrones solo aparezcan en la naturaleza como combinaciones antisimetricas de color indica que existe una simetra en la naturaleza asociada a las transformaciones lineales entre los tres colores, descrita por el grupo SU(3)C . Esta simetra es exacta, a diferencia de la simetra SU(3)F asociada al sabor. 9.1.3 Momento magnetico Como vimos en el caso de los leptones, el momento magnetico es un criterio adecuado para considerar si una partcula es elemental. Si los quarks son realmente elementales y tienen J=1/2, su momento magnetico viene determinado por la ecuacion de Dirac (q)=< q;J =1=2;M =1=2jzjq, J =1=2;M =1=2 >= Z(q)e (q)h=2m(q)c. Podemos estimar que la masa de los quarks u y d, dentro de un barion vienen dadas por mu = md = mp=3. La masa del quark s es superior, y puede estimarse como m = s = on nuclear N e 5=9mp. En unidades del magnet= h=2mpc, tenemos que (u)=2N , (d)= ..N y (s)= ..3=5N . A partir de estos valores, pueden calcularse los momentos magneticos de algunos hadrones. Para calcular el momento magnetico de un sistema de partculas (quarks en nuestro caso), hay que considerar la contribucion del momento angular orbital y del momento angular intrnseco de cada partcula. Para los bariones del octete con J =1=2+, y para los del decuplete con J =3=2+ , y para los mesones pseudoescalares y vectoriales, el momento angular orbital es cero, por lo que solo hay que considerar el momento angular intrnseco de los quarks. Por tanto, el momento magnetico del sistema A (barion o meson), viene dado por: (A)=< A;J;M = JjzjA, J, M = J>=< A;J;M = J| i z(qi)jA, J, M = J> Para calcular (A) es necesario conocer el desarrollo de la funcion de onda en terminos de funciones en las que los quarks u, d y s (o los anti-quarks correspondientes) tienen proyecciones de nidas de su espn en torno al eje z. Este desarrollo es lo que llamamos funcion de onda de espn-sabor. Una vez efectuado este desarrollo, puede evaluarse 84 el momento magnetico ya que, para cada quark, < qm =1=2jz(q)jqm =1=2 >= (q). Los antiquarks tienen momento magnetico opuesto a los quarks. Por otro lado, por el teorema de Wigner-Eckart, < qm = ..1=2jz(q)jqm = ..1=2 >= ..(q). Los mesones pseudoescalares tienen J =0... Corresponden a una pareja quarkantiquark con L =0y S = 0. Por ejemplo, el + esta compuesta por ud. Su momento magnetico es (+)=<+J =0;M =0jzj+J =0;M =0 > Tienen obviamente momento magnetico cero, por el teorema de Wigner-Eckart. El momento angular J =0;M = 0 indica que los espines del quark y el antiquark son opuestos. Por tanto, la funcion de onda de espn-sabor es.  j+;J =0;M =0 > = (1=p2)ju, m =1=2 > jd, m = ..1=2 >  - (1=p2)ju, m = ..1=2 > jd, m =1=2 > Por tanto, como habamos previsto, (+)=1=2((u) - (d)) + 1=2(..(u)+ (d)) = 0 Los mesones vectoriales tienen J =1... Corresponden a quark-antiquark con L =0y S = 1. Estas asignaciones son consistentes con las paridades P y C de los mesones. Por ejemplo, la + esta compuesta por ud. Su momento magnetico es (+)=<+J =1;M =1jzj+J =1;M =1 > El momento angular J =1;M = 1 indica que los espines del quark y el antiquark tienen m =1=2. Por tanto, la funcion de onda de espn-sabor es.  j+;J =1;M =1 >= ju, m =1=2 > jd, m =1=2 > Por tanto, (+)= (u)+ (d) = (u) - (d)=3N Los bariones del decuplete tienen J =3=2... Son sistemas de tres quarks con L =0 y S =3=2. El momento magnetico viene dado por el momento angular de espn de los quarks. En el caso de la .., se tiene que la funcion de onda de espn-sabor viene dada por: j ..J =3=2;M =3=2 >= js, m =1=2 > js, m =1=2 > js, m =1=2 > Por tanto, ( ..)= (s)+ (s)+ (s)= ..1:8N que esta en buen acuerdo con el valor experimental de ..1:94 ± 0:22N . En el caso del octete, los bariones tienen J =1=2... Existe una correlacion entre las variables de espn y las de sabor, de forma que la funcion de onda debe ser simetrica frente al intercambio simultaneo de las variables de espn y sabor. Para el caso del proton, ello hace que los espines de los dos quarks u, cuya funcion de onda de sabor es obviamente simetrica, deben acoplarse a Juu = 1, para que la funcion de onda de espn sea tambien ´ simetrica. Este se acopla al momento angular del quark d para dar momento angular total J =1=2. Por tanto, se tiene que la funcion de onda de espn-sabor es p, J =1=2;M =1=2 > =2=3uu, Juu =1;Muu =1 > d;m = ..1=2 > - 1=3juu, Juu =1;Muu =0 > jd, m =1=2 > 85 Desarrollando este estado, se tiene jp, J =1=2;M =1=2 > = . 2=3ju, m =1=2 > ju, m =1=2 > jd, m = ..1=2 > - 1=3ju, m =1=2 > ju, m = ..1=2 > jd, m =1=2 > A partir de esto, se obtiene (p)=2=3((u)+ (u) - (d)) + 1=3(u - u + d)=3N en buen acuerdo con el valor experimental de 2:7928N , dada la crudeza del modelo. El caso del neutron se obtiene cambiando u por d, y se tiene (n)=2=3((d)+ (d) - (u)) + 1=3(d - d + u)= ..2N de acuerdo con el valor experimental de ..1:9130N . 9.2 Interacciones entre quarks Una vez que los hadrones se describen como sistemas de tres quarks, las interacciones en las que intervienen hadrones deben ser descritas en terminos de interacciones entre los quarks que los constituyen. En esta seccion describiremos de forma cualitativa las interacciones entre los quarks, mientras que en el tema siguiente se realizara la derivacion formal de las interacciones. 9.2.1 Interaccion fuerte. Los quarks interaccionan entre ellos como resultado de su carga de color. De la misma forma que la interaccion electromagnetica esta asociada a la carga electrica, la interaccion entre quarks esta asociada a su color. En la interaccion electromagnetica, cargas del mismo signo se repelen mientras que las cargas de distinto signo se atraen. En la interaccion de color, las combinaciones de quarks simetricas frente al intercambio de colores se repelen, mientras que las combinaciones antisimetricas se atraen. Ello hace que los hadrones sean siempre combinaciones antisimetricas de colores. La interaccion electromagnetica se debe al intercambio de un foton, que corresponde al generador del grupo U(1). El foton no tiene carga electrica, por lo que los fotones no interactuan entre s. La interaccion de color se debe al intercambio de ocho partculas, tantas como generadores del grupo SU(3)C . Estas partculas tienen carga de color, por lo que interactuan entre s, y producen que la interaccion aumente con la distancia entre quarks. Esto provoca el con namiento. La interaccion de color cambia el color de los quarks. No obstante, no se modi ca el sabor de los quarks. La interaccion fuerte entre hadrones aparece como una interaccion residual. Del mismo modo que la interaccion de Van der Waals es una interaccion residual de la interaccion electromagnetica entre atomos neutros, la interaccion fuerte entre hadrones es una interaccion residual de la interaccion de color entre sistemas incoloros, es decir, que forman una combinacion totalmente antisimetrica de color. 86 9.2.2 Interaccion electromagnetica. La interaccion electromagnetica entre quarks es basicamente igual a la interaccion electromagnetica entre hadrones, en la que simplemente hay que considerar el valor fraccionario de la carga de los quarks. El modelo de quarks permitira, en principio, calcular el decaimiento de 0 2. como un proceso de aniquilacion quark-antiquark, o el decaimiento ! de 0 + . como una transicion en la que los espines de los quarks u y d pasan de ! estar acoplados a J =1 en la 0 a estar acoplados a J =0 en la . La interaccion electromagnetica no modi ca ni el color ni el sabor de los quarks. ´ 9.2.3 Interaccion debil. Angulo de Cabibbo. Matriz CKM. La interaccion debil se produce por el intecambio de los bosones W ± (y Z0, como veremos en el tema siguiente). Esa interaccion no modi ca el color de los quarks, pero si puede modi car el sabor. As, aparecen corrientes que cambian el sabor de los quarks, pero no cambian la extra~neza, como: jµ +d!u = iVud u(1 - 5) d y corrientes que cambian la extra~neza, como jµ +s!u = iVus u(1 - 5) s Notese que aparece el termino (1 - 5), que indica que solo los quarks con quiralidad negativa sienten la interaccion debil. Ademas, Vud y Vus pueden expresarse como cos c y sin c, donde c  es el angulo de Cabibbo. Esto sugiere que puede de nirse un estado de sabor d. = d cos c + s sin c, de tal forma que la interaccion debil puede de nirse como corrientes que acoplan el sabor u al sabor d0, que son formalmente identicas a las que acoplan los leptones con sus neutrinos. La introduccion del on ortogonal a d0, angulo de Cabibbo sugiere que la combinaci llamada s. = ..d sin c + s cos c, tambien debera sentir la interaccion debil, y, por tanto, debiera acoplarse a un nuevo sabor del quark, analogo al quark u, con carga +2/3. Este es el quark c (charmed, encantado), que se descubrio experimentalmente. Posteriormente, se encontraron el quark b (bottom, fondo), de carga -1/3, y, muy recientemente, el quark t (top, cima), de carga +2/3. La interaccion debil conecta los sabores de los quarks carga +2/3 con los de carga -1/3. Los 9 posibles acoplamientos vienen descritos por la matriz de Cabibbo{Kobayashi{Maskawa, o CKM. En terminos de la matriz CKM, pueden de nirse los estados de sabor d0;s0;b0, acoplados respectivamente a u, c, t, y de nidos por: d. = Vudd + Vuss + Vubb s. = Vcdd + Vcss + Vcbb b. = Vtdd + Vtss + Vtbb La matriz CKM es unitaria, y las fases de los estados d, s, b y d0;b0;s. pueden elegirse de forma que la matriz se de ne en funcion de tres angulos reales 12, 13, 23, y una fase 13, que hace que la matriz CKM sea compleja, y por tanto, la interaccion debil viole CP y T. En concreto, se tiene s12 = sin 12 =0:220(3), s23 = sin 23 =0:039(3) y s13 = sin 13 =0:0031(13). En funcion de estos valores, e ignorando terminos cuadraticos 87 en s13 y s23, se tiene, llamando c12 = cos 12, Vud = c12 Vus = s12 Vub = s13 exp(..i13) Vcd = ..s12 Vcs = c12 Vcb = s23 Vtd = s12s23 - c12s13 exp(i13) Vts = ..c12s23 - s12s13 exp(i13) Vtb =1 Notese que la fase 13, responsable de la violacion de CP y T, aparece el los acoplamientos a los quarks pesados, b y t. Los analisis de violacion de CP basados en la matriz CKM parecen indicar que 13 ~ =2, con los que Vub sera principalmente imaginario. 9.3 Quarks pesados 9.3.1 Quark c El quark c, predicho teoricamente por los argumentos expuestos, fue descubierto en 1974 simultaneamente en colisiones e..e+ en SLAC (Stanford) y en colisiones p + Be e+ + +. e- + X en BNL (Brookhaven). A una energa del ee- de 3097 MeV, apareca una resonancia muy estrecha, cuya anchura era de 63 keV. Esta anchura solo poda deberse a una nueva partcula, llamada J= , que decae por interaccion electrmagnetica. De hecho, corresponde a un sistema cccon J =1... Posteriormente, se descubrieron otras partculas con el quark c: los mesones D+(cd) y D..(dc), de masa 1869.4 MeV, y D0(cu) y D 0(uc), de masa 1864.6 MeV, y el barion + c (udc), de masa 2285.1 MeV, que decaen por interaccion debil, y muchas otras partculas. 9.3.2 Quark b El quark b no resulto inesperado, ya que previamente, en 1975, se haba descubierto el lepton . Por tanto, si haba tres familias de leptones, no era raro que hubiera tres familias de quarks. Su descubrimiento se hizo en 1977 al encontrar resonancias en las colisiones p + Be;Cu;Pt + + - + X en Fermilab (Chicago), posteriormente con rmadas en +! experimentos ee- en Doris (Hamburgo). Estas resonancias se deban a una partcula , de masa 9.46 GeV y anchura 42 KeV, que decae por interaccion electromagnetica. De hecho, corresponde a un sistema cccon J =1... Posteriormente, se descubrieron otras partculas con el quark b: los mesones B+(u b)y B..(bu), de masa 5278.4 MeV, y B0(db) y D 0(bd), de masa 5279.0 MeV, y el barion b 0(udb), de masa 5641 MeV, que decaen por interaccion debil, y muchas otras partculas. 9.3.3 Quark t El quark t ha sido descubierto recientemente (1995) en FermiLab, en procesos de colision pp. No se observo directamente como una resonancia, ya que las partculas compuestas por el quark t tienen una vida extremadamente corta. Lo que se observaron eran ciertos eventos que generaban chorros de partculas que se considera que estan originadas por el quark t. A partir de estos chorros de partculas, se deduce que la masa del quark t es 174:3 ± 5:1 GeV (1999). Las masas de los quarks no son directamente observables, ya que los quarks no se encuentran aislados. Sus masas, llamadas masas \corrientes” pueden obtenerse sustrayendo 88 el efecto de la energa cinetica y de la interaccion entre quarks en las masas de los hadrones. Este procedimiento da un valor para la masa que es dependiente del modelo, y es tanto mas impreciso cuanto menor sea la masa del quark. As, se obtiene: Carga Masa(GeV) u 2/3 0.0015-0.005 d -1/3 0.002-0.006 s -1/3 0.060-0.170 c 2/3 1.1-1.4 b -1/3 4.1-4.4 t 2/3 174:3 ± 5:1 Estas masas son diferentes de las masas \constituyentes", que incorporan el efecto de la energa cinetica y potencial, y por tanto dependen del hadron. Las masas \constituyentes” de los quarks u y d seran de unos 0.3 GeV en el nucleon, pero de unos 0.07 GeV en el pion. 9.4 Evidencias experimentales de los quarks Los quarks no se han detectado nunca aislados, y existen argumentos teoricos para que esto sea as. Es el llamado \con namiento", que hace que cualquier combinacion de colores, diferente de la totalmente antisimetrica, tenga una energa in nita. No obstante, existen evidencias experimentales indirectas, basadas en colisiones de leptones a alta energa, que avalan su existencia. 9.4.1 Experimentos de analisis Son experimentos en los que se dispersa una partcula muy energetica con energa E, tpicamente un electron, por un proton o un neutron. Se onserva el electron saliente con energa E. 1(GeV=c)2, las funciones de estructura F2(x, Q2)y F1(x, Q2) solo dependen de x. Esto es lo que se llama invariancia de escala, y se interpreta como que los partones son partculas elementales, sin estructura interna. Por otro lado, se encuentra que las funciones de estructura cumplen la relacion de Callan-Gross, por la que F2(x)=2xF1(x). Ello implica que los partones son partculas de espn 1=2 que obedecen la ecuacion de Dirac. Los experimentos de dispersion de electrones no son capaces de determinar si el parton corresponde a un quark o a un antiquark, ya que las secciones e caces dependen del cuadrado de la carga electrica. No obstante, la dispersion de neutrinos para dar leptones si permite esa diferenciacion, ya que, por ejemplo, puede ocurrir d..u pero no ! d..u. Del analisis de estos experimentos se encuentra que para valores de x ! peque~na, existen en los nucleones una fraccion importante de antiquarks, pero para valores de x mayores predominan los quarks. Puede evaluarse una regla de suma, que corresponde a la integral para todos los valores de x, que indica que el numero de quarks menos el numero de antiquarks es consistente con 3 (Dos medidas dieron 3:2 ± 0:5y2:8 ± 0:6. Por otro lado, si se integra el valor del momento de todos los partones, no se obtiene el momento total del nucleon. Ello lleva a considerar que existen componentes en el nucleon que no interaccionan con los electrones o los neutrinos, pero que contribuyen al momento total. Estos son precisamente los gluones que son las partculas intermediarias de la interaccion fuerte, pero que no tienen carga electrica ni debil. 9.4.2 Experimentos de sntesis En la colision de un electron y un positron a alta energa, se producen muchas particulas. No obstante, podemos separar los sucesos en los que se producen leptones, como +.., y los procesos en los que se producen hadrones. En ambos casos, e+ y e- se aniquilan para producir un foton virtual. Este foton puede producir +.., o bien producir qq, en cuyo caso se observaran hadrones. El cociente R entre la probabilidad de producir hadrones y la probabilidad de producir ..mu+ es igual a la suma de los cuadrados de las cargas electricas de los quarks que pueden producirse. As, para energas superiores a 10 GeV, pueden producirse parejas quark-antiquark de los quarks u,d,s,c,b. Ademas, hay que considerar que existen tres tipos de colores para cada quark, con lo que R=11/3. Un calculo mas detallado de R debe tener en cuenta que tambien existen en las que e+ y e- de aniquilan por interaccion debil dando lugar a una Z0, que se desintegra en quarks o leptones. Por otro lado, la interaccion fuerte entre q yq afecta el valor de R. Los procesos descritos anteriormente se basan en el analisis de las secciones e caces totales de distintas colisiones. No obstante, las propiedades de los quarks pueden estudiarse en mayor detalle ya que, en los procesos de colision a altas energas, se producen chorros de partculas que se mueven en la misma direccion. Estos chorros de partculas provienen de un proceso elemental en el que se producen quarks (o gluones) a energas altas. El momento total de las partculas del chorro esta relacionado con el momento que tena originalmente el quark. Los procesos mas importantes son los de dos jets, en los que se considera que se ha producido una pareja qq, y los de tres jets, en los que se produce ademas un gluon. Las correlaciones angulares en estos sucesos de tres jets con rman que el espn del gluon es 1. 90 9.5 Problemas 1) Considera un modelo en el que la masa de los bariones del octete fundamental se expresa como suma de las masas de los quarks constituyentes. En el, el residual R2 se de ne como la suma, para todos los bariones, de la diferencia de la masa real del barion menos la masa de los quarks que lo componen, elevada al cuadrado. a) Obtener las masas de estos quarks por mnimos cuadrados, es decir, minimizando R2 . Comparar las masas obtenidas para los bariones con las reales. b) Obtener las masas de los quarks por el mismo procedimiento a partir de las masas del decuplete. Comparar con los resultados anteriores. c) Obtener las masas de los quarks a partir de las masas de los piones y los kaones, considerando que la masa de los anti-quarks deben ser las mismas que las de los quarks. 2) Teniendo en cuenta que un proton tiene un radio cuadratico medio de 0.8 fm, estimar el valor del cuadrado del momento lineal de los quarks dentro de los bariones. Considerando que los valores obtenidos en 1a) para las masas de los quarks corresponden a la energa total de los quarks, obtener que energa tendran si estuvieran en reposo. Obtener la energa cinetica de los quarks en los bariones. Discutir la validez de la aproximacion no relativista. 3) Obtener la funcion de onda de espn-sabor de los bariones del decuplete. Obtener el valor de su momento magnetico. 4) Obtener la funcion de onda de espn-sabor de los bariones del octete. Obtener el valor de su momento magnetico. Nota: Los quarks u y d en la . se acoplan a isospn cero, por lo que su funcion de onda de sabor es antisimetrica. Los quarks u y d en la 0 se acoplan a isospn uno, por lo que su funcion de onda de sabor es simetrica. 5) Obtener los valores admisibles de los tableros de Young que caracterizan la simetra de las funciones de onda correspondientes a las variables orbitales, de espn y de sabor para los quarks en un barion, compatibles con el principio de pauli, y teniendo en cuenta que la funcion de onda de color es totalmente antisimetrica. 6) En un modelo de oscilador armonico para los quarks en un barion, la funcion de onda orbital de energa mas baja tiene simetra [3], L=0 y paridad positiva. A partir de los resultados del problema anterior, comprobar que los bariones compatibles con esta funcion de onda orbital son un octete con J =1=2+ y un decuplete con J =3=2+ . La funcion de onda orbital siguiente, con energa de excitacion h!, tiene simetra [2,1], L=1 y paridad negativa. Obtener los bariones compatibles con esta funcion de onda, especi cando el multiplete, L, S, J y la paridad. 91 Chapter 10 Teoras Gauge Locales 10.1 Estructura general de las teoras gauge locales En general, la teora cuantica de campos describe la interaccion entre fermiones mediante el acoplamiento de los campos fermionicos con campos bosonicos. La forma de estos acoplamientos, asi como la estructura de los lagrangianos que describen a los bosones y fermiones por separado, es en general arbitraria, y solo esta sujeta a que la densidad lagrangiana debe ser invariante de Lorentz. No obstante, estas teoras no son renormalizables en general. Las teoras gauge locales forman una clase muy especial de la teoras cuanticas de campos, que permiten obtener la forma del lagrangiano que describe la interaccion entre fermiones, a partir de las propiedades de simetra de estos fermiones. Se ha demostrado que las teoras gauge locales son renormalizables. El procedimiento para construir estas teoras es el siguiente: • Se parte de la densidad lagrangiana que describe a los fermiones sin interaccion. En general, se consideran varios fermiones de espn 1=2 con la misma masa. • Se considera una magnitud conservada (carga electrica, color, etc). Los operadores asociados a esta magnitud generan un grupo de transformaciones. Los campos fermionicos constituyen la base de una representacion (generalmente, pero no siempre, la representacion fundamental) del grupo. Las transformaciones del grupo vienen caracterizados por una serie de parametros. Cuando estos parametros son independientes de las coordenadas y el tiempo, la densidad lagrangiana de los fermiones sin interaccion es invariante frente a las transformaciones del grupo. Estas transformaciones se denominan transformaciones gauge globales. • Se consideran ahora las transformaciones en las que los parametros dependen de forma arbitraria de las coordenadas y el tiempo. En este caso, la densidad lagrangiana de los fermiones sin interaccion no es invariante frente a las transformaciones del grupo. Estas transformaciones se denominan transformaciones gauge locales. • Se busca una modi cacion de la densidad lagrangiana que haga que la densidad lagrangiana modi cada sea invariante frente a las transformaciones gauge locales. Para ello, de modi ca el operador derivada a~nadiendole la suma de los generadores del grupo por unos campos gauge, tantos como generadores, multiplicados por una 92 constante de acoplo, que es el ametro de la teora. Estos campos gauge unico par se transforman frente a transformaciones gauge locales de forma que hacen que la densidad lagrangiana modi cado sea invariante frente a transformaciones gauge locales. Por otro lado, para que la densidad lagrangiana modi cada sea invariante frente a transformaciones de Lorentz, los campos gauge deben comportarse como el operador derivada, por lo que son cuadrivectores. • Se considera que los campos gauge introducidos llevan asociados bosones de espn uno que transmiten la interaccion entre los fermiones. Se construye una densidad lagrangiana para los campos gauge con la exigencia de que esta densidad lagrangiana sea invariante gauge local, e invariante de Lorentz. Se encuentra que este lagrangiano no puede tener terminos cuadraticos en los campos gauge, por lo que los bosones gauge tienen masa nula. No obstante, si pueden aparecer terminos de interaccion entre los campos gauge, que dependen de las constantes de estructura del grupo. Las teoras gauge locales surgen del requerimiento de que la densidad lagrangiana sea invariante frente a transformaciones gauge locales. Este requerimiento no es arbitrario. Proviene del concepto relativista de que lo que se haga en una region A del espacio-tiempo, que esta separada espacialmente de otra region B, no debe afectar a esta ultima. Por ejemplo, lo que se haga en el sol no puede afectarnos a nosotros en la tierra instantaneamente, aunque si nos afectara pasados 8 minutos. Las transformaciones gauge globales implican que, para dejar invariante la densidad lagrangiana, los parametros que de nen la transformacion en todos los puntos del espacio y en todos los instantes de tiempo deben ser los mismos. Por tanto, la misma transformacion debera realizarse en el sol y en la tierra . Las transformaciones gauge locales permiten que los parametros que de nen la transformacion en A sean independientes de los de B, lo cual permite realizar una cierta transformacion gauge en el sol, pero no en la tierra, en un instante dado. No obstante, al realizar la transformacion gauge local se genera unos campos gauge en el sol, que se propaga hacia la tierra a la velocidad igual de la luz, (ya que las partculas asociadas a los campos gauge tienen masa nula), con lo cual, pasados ocho minutos, la presencia del campo gauge en la tierra nos da cuenta de la transformacion gauge local realizada en el sol. As, las teoras gauge locales describen la interaccion entre fermiones, mediante el intercambio de bosones de espn 1 con masas (en principio) nulas. Este esquema es directamente valido para describir la interaccion electromagnetica y la interaccion fuerte entre los quarks. El mecanismo de ruptura espontanea de la simetra permite describir tambien interacciones producidas por bosones con masa no nula, con lo que tambien se describe la interaccion debil. 10.2 Electrodinamica cuantica: grupo U(1) Consideremos un fermion de espn 1=2. Su densidad lagrangiana sin interaccion es: LF 0 = .. (x)(@µ + m) (x) Consideremos las transformaciones del grupo U(1) dadas por el operador T () = exp(ieQ) 93 e es una constante arbitraria. . es un parametro que toma valores entre 0 y 2=e. Q es el generador del grupo, que toma valores enteros, y que asociaremos con la carga electrica en unidades de la carga del electron. Frente a las transformaciones del grupo, si el fermion es autoestado de Q correspondiente al autovalor q, el campo de transforma segun: (x) exp(ieQ) (x) exp(..ieQ) = exp(..ieq) (x) . Esta expresion se obtiene porque (x) es proporcional a operadores que aniquilan un fermion, o crean un anti-fermion, por los que el operador Q de la derecha actua sobre estados con carga superior en q unidades al de la izquierda. Analogamente, (x) . exp(ieQ) (x) exp(..ieQ) = exp(ieq) (x) Puede verse que si . no depende de x, entonces L0 es invariante frente a las transformaciones del grupo. Estas transformaciones estan asociadas a la conservacion de Q. Vamos a considerar ahora que permitimos que . sea una funcion arbitraria de x. Entonces, frente a las transformaciones del grupo, la densidad lagrangiana se transforma segun LF 0 !.. (x) exp(ieq(x))(@µ + m) exp(..ieq(x)) (x) !LF 0 + ej(x)@(x) donde el operador corriente j(x) viene dado por j(x)= iq (x) (x) Vemos que la densidad lagrangiana LF 0 no es invariante frente a las transformaciones gauge locales, pero si frente a las globales. Vamos a modi car el lagrangiano LF 0 para que sea invariante frente a transformaciones gauge locales. Para ello, modi camos el operador derivada, de niendo una derivada modi cada Dµ = @µ - ieQA(x) donde A(x) es el campo gauge. El lagrangiano modi cado resulta LF = .. (x)(Dµ + m) (x)= LF 0 + ej(x)A(x) Frente a transformaciones gauge locales, la corriente jµ no se modi ca, y se exige que el campo gauge se modi que de forma que: A(x) A(x) - @(x): . Por tanto, puede verse que el lagrangiano modi cado es invariante frente a transformaciones gauge locales. El \precio” que hay que pagar es la introduccion de la interaccion con un campo A(x). Esta interaccion es formalmente identica a la interaccion electromagnetica. El campo gauge A(x) lleva asociado un boson gauge, que tiene una entidad fsica, independiente de los fermiones. Por tanto, debe existir un lagrangiano que describa la evolucion de los bosones gauge, en ausencia de fermiones. Este lagrangiano debe ser 94 invariante de Lorentz, pero tambien debe ser invariante gauge local. Teniendo en cuenta la forma en la que se modi ca el campo A(x) frente a transformaciones gauge locales, es evidente que el rotacional F(x)= @A(x) - @. A(x) es invariante frente a transformaciones gauge locales. Notese que puede escribirse DD. - D. Dµ = ..ieQF(x) A partir del rotacional, la densidad lagrangiana mas simple que puede construirse de forma que sea invariante de Lorentz es: 1 LA = ..4 F. (x)F(x) El factor ..1=4 es una normalizacion arbitraria que se introduce para obtener la expresion habitual del lagrangiano del campo electromagnetico. Cualquier otro factor podra englobarse en la de nicion de A, cambiando el valor de la constante de acoplo e. En resumen, obtenemos que el lagrangiano asociado a una teora gauge local del grupo U(1) viene dado por LU(1) = LF + LA = LF 0 + LFA + LA donde LF 0 es el lagrangiano de los fermiones sin interaccion, LFA = ej(x)A(x) describe la interaccion de los fermiones con los bosones gauge, y LA es el lagrangiano de los bosones gauge. Aparece un unico campo Aolo un boson gauge. (x), con lo cual hay s Como el campo A(x) es un cuadrivector, el boson gauge tiene espn uno. Como en LA no aparecen terminos del tipo mA2 A(x)A(x), la masa del boson gauge es cero. La constante e indica la intensidad del acoplamiento entre las corrientes fermionicas y el campo A(x). Finalmente, no aparecen terminos cubicos o de orden superior en A(x), lo cual indica que los bosones gauge no interactuan entre s. Todas estas propiedades son las que tiene el foton, como partcula responsable de la interaccion electromagnetica. Por tanto, vemos que la interaccion electromagnetica puede obtenerse sin mas que exigir que el lagrangiano sea invariante frente a las transformaciones gauge locales cuyo generador es el operador carga electrica. El ametro de la teora es el valor de la constante e. Esta \constante", unico par debido al efecto de la renormalizacion, toma valores efectivos que dependen de la energa. 2 A energas bajas, del orden del MeV, la constante a = 4ep =1=137:03599976, con lo cual e =0:30282. Sin embargo, a energas del orden de la masa de la Z0 (90 GeV), a =1=127:934, con lo que e =0:31341. Vemos que e aumenta conforme aumenta la energa, lo cual implica que disminuye conforme aumenta la distacia. Este efecto es el apantallamiento debido a la polarizacion del vaco por la creacion de parejas virtuales fermion-antifermion, 10.3 Cromodinamica cuantica: grupo SU(3) Consideremos la densidad lagrangiana que describe los quarks de un sabor determinado, con los tres colores (r, v, a), correspondientes a los ndices i =1, 2, 3, sin considerar su interaccion.  LF 0 = - i(x)(@µ + m) i(x) i 95 vamos a considerar las transformaciones del grupo SU(3) de color. Estas transformaciones vienen dadas, para valores peque~nos de los 8 parametros a, a =1, 8, en funcion de los generadores Xa, por . T (a)= I + igs Xaa a Donde gs es una constante arbitraria. Frente a las transformaciones del grupo, los generadores se modi can segun fc Xb . T (a)XbT +(a)= Xb - gs abaXc ac donde fa son las constantes de estructura, de nidas por bc fc [Xa;Xb]= i abXc. c Como los quarks de los tres colores generan la representacion fundamental del grupo  SU(3), los operadores i(x)y i(x) se transforman segun las matrices de Gell-Mann (a)ij X. i(x) . i(x) - igs a (a)ij j(x) aj  i(x) i(x)+ igs a (a)ji j(x) . aj Puede verse que si a no dependen de x, entonces L0 es invariante frente a las transformaciones del grupo. Estas transformaciones estan asociadas a la conservacion de los tres tipos (o las tres \cargas") de color. Vamos a considerar ahora que permitimos que . sea una funcion arbitraria de x. Entonces, frente a las transformaciones del grupo, la densidad lagrangiana se transforma segun LF 0 !LF 0 + gs j a(x)@a(x) a donde el operador corriente j a(x) viene dado por j a(x)= i i(x) j(x)(a)ij ij Vemos que la densidad lagrangiana L0 no es invariante frente a las transformaciones gauge locales (a depende de x), pero si frente a las globales (a no depende de x). Vamos a modi car el lagrangiano L0 para que sea invariante frente a transformaciones gauge locales. Para ello, modi camos el operador derivada, de niendo una derivada modi cada Dµ = @µ - igs XaA a (x) a donde Aa (x) son los campos gauge. Hay tantos como generadores, ocho en este caso. El lagrangiano modi cado resulta LF = LF 0 + gs j a(x)A a (x) a 96 Frente a transformaciones gauge locales, la corriente j a se modi ca, de forma que ja ja fb jb (x) µ - gs ca(x)c(x) . bc Esta expresion es la que de ne la transformacion de los generadores del grupo Xa. Puede verse que, de la misma forma que a XaXa es invariante frente a las transformaciones del grupo, lo mismo ocurre a cualquier magnitud que se transforme segun la expresion anterior. Para que el lagrangiano modi cado sea invariante, se exige que los campos gauge se modi quen de forma que: Aa (x) Aa afb Ab (x)c(x): . (x) - @(x) - gs ca bc La primera parte de esta expresion es analoga a la transformacion del campo deducido del grupo U(1), y esta relacionada con la variacion de los parametros de la transformacion. La segunda parte compensa la variacion de las corrientes j a(x), y aparece tambien en transformaciones gauge globales. Por tanto, puede verse que el lagrangiano modi cado es invariante frente a transformaciones gauge locales. El \precio” que hay que pagar es la introduccion de la interaccion con ocho campos A a (x). Los campos Aa (x) llevan asociados ocho bosones gauge, llamados gluones, que tienen una entidad fsica, independiente de los quarks. Por tanto, debe existir un lagrangiano que describa la evolucion de los gluones, en ausencia de quarks. Este lagrangiano debe ser invariante de Lorentz, pero tambien debe ser invariante gauge local. Teniendo en cuenta la forma en la que se modi can los campos Aa (x) frente a transformaciones gauge locales, los rotacionales pueden obtenerse de la expresion DD. - D. Dµ = ..igs XaF a . a resultando: F a (x)= @Aa (x) - @. Aa (x)+ gs fa (x)A c (x) bcAb  bc Los rotacionales se transforman como los generadores del grupo Xa: F a (x) . F a (x) - gs fb F b (x)c(x): ca. cb Por tanto, la expresion . F a (x)F a . . (x) a es invariante frente a transformaciones gauge locales. La densidad lagrangiana mas simple que puede construirse de forma que sea invariante de Lorentz es: 1 . A F a . (x) L= ..4 . (x)F a a En el lagrangiano LA de los bosones gauge podemos distinguir un termino LA0 , que corresponde a bosones sin interaccion, dado por 1 . LA0 = ..4(@Aa(x) - @Aa (x))2  a 97 y un termino LAI , que describe la interaccion entre los bosones gauge, dado por AI = gs . fa Aa (x))Ab (x)A c (x) L2 bc(@. (x) - @Aa  abc gs 2 X. fa Ab (x)Ac + ( bc. (x))2 4 a bc En resumen, obtenemos que el lagrangiano asociado a una teora gauge local del grupo SU(3) viene dado por LSU(3) = LF + LA = LF 0 + LFA + LA0 + LAI donde LF 0 es el lagrangiano de los fermiones sin interaccion, LFA = gsa j a(x)Aa (x) describe la interaccion de los fermiones con los bosones gauge, LA0 es el lagrangiano de los bosones gauge sin interaccion y LAI es el lagrangiano que describe la interaccion de los bosones gauge. Aparecen ocho campos Aa (x), con lo cual hay ocho bosones gauge. Como el campo Aa (x) es un cuadrivector, los bosones gauge tienen espn uno. Como en LA0 no aparecen terminos del tipo m2 AAa (x)Aa (x), la masa del boson gauge es cero. La constante gs, junto con las matrices (a)ij, indican la intensidad del acoplamiento entre las corrientes fermionicas y el campo Aa (x). Vemos que los gluones interactuan entre s. Este hecho es responsable de que la interaccion entre dos quarks aumente conforme estos se separan. Es el fenomeno conocido como anti-apantallamiento. Ello provoca que los quarks, o en general cualquier sistema que no sea invariante frente a transformaciones del grupo SU(3) de color, no pueda encontrarse aislado en la naturaleza. El ametro de la teora el valor de la constante gs. unico pares Esta \constante", debido al efecto de la renormalizacion, toma valores efectivos que dependen de la energa. 2 A energas bajas, del orden del MeV, la constante s = 4gp s se hace comparable con la unidad, con lo que su valor no puede determinarse con precision por procedimientos perturbativos. A energas del orden de la masa de la partcula t (1.777 GeV), s . 0:35, con lo cual gs . 2:1. Sin embargo, a energas del orden de la masa de la Z0 (90 GeV), s =0:1181, con lo que gs =1:218. El hecho de que la constante gs aumente su valor conforme disminuye la energa esta relacionado con que la interaccion fuerte aumenta conforme aumenta la distancia de las partculas coloreadas. Esto lleva al con namiento del color. 10.4 Teora preliminar para la interaccion electro- debil: grupo U(2) Consideremos las parejas de los leptones e - e, µ - , t - , y las de los quarks u - d0, c - s. y t - b0. La interaccion debil entre estos fermiones es identica. Para describirla, vamos a ignorar, en principio, la diferencia de masas entre las partculas de una pareja, y vamos a considerar dos campos fermionicos i(x);i =1, 2, que describen una pareja de las anteriores, por ejemplo, e - e. La densidad lagrangiana sin considerar su interaccion es:  LF 0 = - i(x)(@µ + m) i(x) i 98 Vamos a considerar las transformaciones unitarias que cambian los fermiones 1 y 2 en una combinacion de ellos. Estas transformaciones estan asociadas a la conservacion del \Isospn debil", Iw, analogo al isopn, y a la \hipercarga debil", Y w . La carga electrica esta relacionada con la tercera componente del isospn, por la relacion de Gell-Mann y Nishijima, Q = I3 w + Y w=2, siendo la Y w un operador diagonal cuyo valor es -1 para los leptones y 1/3 para los quarks. El grupo relevante es el U(2). Estas transformaciones vienen dadas, para valores peque~nos de los 4 parametros a, a =1, 2, 3, y 0, en funcion de los generadores Iaw y Y w, por T (a)= I + ig Iawa + ig0(Y w=2). a Donde g y g’ son dos constantes arbitrarias. Las transformaciones del grupo dejan invariante a Y w, y transforman a Ibw segun Ibw . T (a)IbwT +(a)= Ibw - gecabaIcw ac donde ecab es el tensor totalmente antisimetrico que de ne las constantes de estructura del grupo SU(2): . [Iaw;Ibw]= iecabIcw . c Como los fermiones 1 y 2 generan la representacion fundamental del grupo U(2), los  operadores i(x)y i(x) se transforman segun las matrices de Pauli a=2: i(x) . i(x) - ig a (a=2)ij j(x) - ig0(Y w=2)ii0 i(x) aj i(x) . i(x)+ ig a (a=2)ji j(x)+ ig0(Y w=2)ii0 i(x) aj Vamos a considerar ahora que permitimos que . sea una funcion arbitraria de x. Entonces, frente a las transformaciones del grupo, la densidad lagrangiana se transforma segun LF 0 !LF 0 + gj a(x)@a(x)+ g0j0(x)@0(x) a donde los operadores corriente vienen dados por j a(x)= i i(x) j(x)(a=2)ij ij j0(x)= i i(x) i(x)(Y w=2)ii i Vemos que la densidad lagrangiana LF 0 no es invariante frente a las transformaciones gauge locales (. dependen de x), pero si frente a las globales (. no dependen de x). Vamos a modi car el lagrangiano LF 0 para que sea invariante frente a transformaciones gauge locales. Para ello, modi camos el operador derivada, de niendo una derivada modi cada Dµ = @µ - ig IwBa(x) - ig0Y w=2C(x) a a 99 donde B a(x)y C(x) son los campos gauge. Hay tantos como generadores, cuatro en este caso. El lagrangiano modi cado resulta LF = LF 0 + gj a(x)B a(x)+ g0j0(x)C(x) a Frente a transformaciones gauge locales, la corriente j0no vara, pero j a se transforma como los generadores Iaw: j a(x) . j a - gebcaj b (x)c(x) bc Puede verse que, de la misma forma que a IawIaw es invariante frente a las transformaciones del grupo, lo mismo ocurre a cualquier magnitud que se transforme segun la expresion anterior. Para que el lagrangiano modi cado sea invariante, se exige que los campos gauge se modi quen de forma que: B a(x) . B a(x) - @a(x) - gebcaB b (x)c(x) bc C(x) . C(x) - @0(x) La primera parte de estas expresiones es analoga a la transformacion del campo deducido del grupo U(1), y esta relacionada con la variacion de los parametros de la transformacion. La segunda parte compensa la variacion de las corrientes j a(x), y aparece tambien en transformaciones gauge globales. Por tanto, puede verse que el lagrangiano modi cado es invariante frente a transformaciones gauge locales. El \precio” que hay que pagar es la introduccion de la interaccion con cuatro campos B a(x)y C(x). Los campos B a(x)y C(x) llevan asociados cuatro bosones gauge, que tienen una entidad fsica, independiente de los fermiones. Teniendo en cuenta la forma en la que se modi can los campos B a(x)y C(x) frente a transformaciones gauge locales, los rotacionales pueden de nirse a partir de la expresion IwF a DD. - DDµ = ..ig . - ig0(Y w=2)F 0 a . a resultando: F a (x)= @Ba(x) - @. Ba(x)+ geabcBb (x)Bc(x)  bc F 0(x)= @(x) . C(x) - @. C F 0(x) es invariante frente a transformaciones gauge locales, mientras que F a (x) se . ;. transforman como los generadores Iaw, segun la relacion (x) ebacF b (x)c(x): F a . F a (x) - g ;. bc La densidad lagrangiana mas simple que puede construirse de forma que sea invariante gauge local e invariante de Lorentz es: 1 . 1 A F a (x)F a (x) - F 0(x)F 0(x): L= ..4 . . 4  a 100 A partir de los campos B1(x)y B2(x), pueden de nirse dos campos conjugados B1(x)+ iB2(x) B1(x) - iB2(x) W(x)= p2 ; Wµ (x)= p2  Estos campos estan acoplados a corrientes fermionicas en las que el isospn debil (y, por tanto, la carga electrica), aumenta o disminuye en una unidad. Por tanto, corresponden, respectivamente, a los bosones vectoriales intermedios W - y W + . El campo B3(x) y el campo C(x) pueden combinarse para dar los campos A(x) = sin wB3(x) + cos wC(x); Z(x) = cos wB3(x) - sin wC(x) donde w es el angulo de Weinberg, de nido por sin w = g0=pg2 + g02 . El acoplamiento del campo A(x) con los fermiones viene caracterizado por el operador Q = I3 w + Y w=2, que es la carga electrica. Por tanto, podemos asociar A(x) al campo electromagnetico e identi car su constante de acoplo, g sin w con e. El campo A(x) lleva asociado al foton . El campo Z(x) correspondera un boson Z0 que se acopla a las corrientes debiles neutras. En terminos de estos campos, la derivada modi cada resulta, llamando I± w = I1 w ± iI2 w,y Q = Iw - Y w=2, 3 Dµ = @µ - ipg2 I+ wW(x) - ipg2 I- wWµ (x) Iw - i cos g w (cos2 w- sin2 wY w=2)Z(x) - ieQA(x) 3 y la interaccion de los fermiones con los campos gauge viene dada por LFA = pg2jw+(x)W(x)+ pg2jw..(x)W (x) + cos g w jw0(x)Z(x)+ ejel(x)A(x) µ µ µ donde j w+(x)= i 1(x) 2(x) j w..(x)= i 2(x) 1(x) j w0(x)= i i(x) i(x)(cos2 w(I3 w)ii - sin2 w(Y w=2)ii) i j el(x)= i i(x) i(x)Qii i El lagrangiano que describe la evolucion de los bosones W .., W + , Z0 y , en ausencia de fermiones, es LA, expresado en funcion de los campos W;W ;Aµ y Z0 . En el podemos µ distinguir un termino LA0, que corresponde a bosones sin interaccion, 1 LA0 = ..2(@W. (x) - @W (x))(@W. (x) - @. W(x)) µ 11 - 4(@Z. (x) - @. Z(x))2 - 4(@A. (x) - @A(x))2 y un termino LAI , que describe la interaccion entre los bosones gauge, en las que aparecen interacciones entre los campos W(x), Wµ (x), Z(x)y A(x). 101 En resumen, obtenemos que el lagrangiano asociado a una teora gauge local del grupo U(2) viene dado por LU(2) = LF + LA = LF 0 + LFA + LA0 + LAI donde LF 0 es el lagrangiano de los fermiones sin interaccion, LFA describe la interaccion de los fermiones con los bosones gauge, LA0 es el lagrangiano de los bosones gauge sin interaccion y LAI es el lagrangiano de interaccion de los bosones gauge. Esta teora engloba la interaccion electromagnetica, y describe algunos de los aspectos de la interaccion debil: Aparecen bosones W + y W - que se acoplan a los fermiones, y aumentan o disminuyen su carga en una unidad. Aparece tambien un boson Z0 cuyo acoplamiento generara corrientes debiles neutras. Ademas, predice el acoplamiento electromagnetico entre los bosones W + y W ... No obstante, esta teora no es valida para la interaccion debil por las razones siguientes: 1) Predice que los bosones vectoriales tienen masa cero, con lo cual la interaccion debil debera ser de largo alcance. 2) Exige que los fermiones acoplados por la interaccion debil tengan la misma masa, lo cual es contrario a la experiencia. 10.5 Mecanismo de Higgs de ruptura espontanea de la simetra Hemos visto que las teoras gauge locales hacen que los bosones gauge tengan masa cero, y ademas, los fermiones que interactuan debe tener la misma masa. Vamos a ver como puede conseguirse que los bosones gauge adquieran masa. Primeramente, consideraremos, a efectos didacticos, el mecanismo de Higgs en una teora gauge de tipo U(1), y posteriormente, consideraremos una teora gauge de tipo U(2). 10.5.1 Mecanismo de Higgs en una teora U(1) Vamos a suponer que existe un campo escalar, complejo , que viene caracterizado por un lagrangiano descrito por L0 = ..@(x)@(x) - c 2((x)(x) - v 2=2)2 Tomando (x) como las variables dinamicas, puede expresarse la densidad lagrangiana en funcion de la densidad de energa cinetica y la densidad de energa potencial: L0 = T F ..V, donde la densidad de energa cinetica viene determinada por las variaciones del campo T F = ..@(x)@(x) y la densidad de energa potencial por el valor del campo VF = c 2((x)(x) - v 2=2)2 La energa potencial se hace mnima cuando j(x)| = v=p2. Si este lagrangiano correspondiera al de un campo escalar libre, entonces VF = m2(x)(x), y la energa potencial se hara mnima cuando (x) = 0. 102 Vamos a considerar que el campo (x) genera una representacion de las transformaciones gauge de un grupo U(1), dadas por T () = exp(ieQ) Donde Q es el generador del grupo. Entonces, si los bosones asociados a (x) son autoestados del generador Q correspondientes a un autovalor q, (x) exp(..ieq)(x) . (x) exp(ieq)(x) . Notese que si las transformaciones gauge del grupo U(1) son las asociadas con la carga electrica entonces el campo (x) estara asociado a bosones de espn cero y de carga q. El lagrangiano es invariante frente a transformaciones gauge globales, pero no frente a transformaciones gauge locales. Modi camos el lagrangiano para que sea invariante frente a transformaciones gauge locales, con lo que se tiene Dµ = @µ - ieQA(x) y el lagrangiano resulta, LF = ..D* (x)D(x) - c 2((x)(x) - v 2=2)2  que es una expresion invariante gauge local, en la que se ha includo el acoplamiento con el campo gauge A(x). Podemos escribir (x) = exp(i (x))(v + (x))=p2 donde tanto (x) como (x) son campos reales. (x) corresponde a la fase de (x), y (x) indica la desviacion de (x) con respecto al mnimo de energa potencial. Como el lagrangiano es invariante frente a transformaciones gauge locales, vamos a considerar una transformacion en la cual eq(x)= (x). En esa transformacion, se tiene que (x)(v + (x))/ (2) . A(x) . A(x) - @ (x)=eq = A0(x) Vamos a considerar situaciones de energa baja, en la cual el campo escalar (x) tome valores proximos al mnimo de energa potencial. Ello implica que (x) va a ser mucho menor que v. Desarrollando el lagrangiano, e ignorando los terminos de orden ((x)=v)2 o superior, se tiene F mA H0 AH L'L+ L+ Ldonde LmA = ..1=2g 2 v 2(A0(x))2  equivale a un termino de masa para el campo A0(x), en el que mA = gv. Este termino proviene del acoplamiento entre los bosones gauge y el campo escalar original (x). De este campo, la fase (x) no es observable, ya que ha sido englobada en la transformacion gauge local que de ne los campos A0(x). Solo es observable el campo (x), descrito por el lagrangiano LH0 = ..1=2(@(x))2 - c 2 v 2((x))2 103 La partcula asociada a este campo es el boson de Higgs, que tiene espn cero y masa dada por m. = p2cv. El boson de Higgs esta acoplado a los campos gauge a traves del termino LAH = ..g 2v(x)(A0(x))2 Aunque LF es invariante frente a transformaciones gauge locales, la expresion aproximada LmA + LH0 + LAH , valida a energas bajas, no mani esta explcitamente la invariancia frente a transformaciones gauge locales, ya que contiene terminos de masa para los bosones gauge. Por ello, se dice que se ha producido una ruptura espontanea de la simetra. 10.5.2 Mecanismo de Higgs en una teora U(2) Vamos a suponer que existen dos campos escalares, complejos i, i =1, 2 que vienen caracterizado por un lagrangiano descrito por L0 = - @i (x)@i(x) - c 2(* i (x)i(x) - v 2=2)2 ii Vamos a considerar que los campos i(x) generan una representacion de las transformaciones gauge de un grupo U(2). Entonces, i(x) . i(x) - ig a (Iw)ijj(x) - ig0(Y w=2)ii0j(x) a aj * i (x)  * i (x)+ ig a (Iaw)ij* j (x)+ ig0(Y w=2)ii0* j (x) . aj Consideramos que el doblete de partculas asociadas a i(x) tienen isospn debil 1/2 e hipercarga debil 1. Por tanto, la carga electrica de la partcula correspondiente a i =1 tiene carga electrica 1, y la de i = 2 tiene carga electrica 0. Las antipartculas, asociadas a * i (x), tienen cargas opuestas. El lagrangiano es invariante frente a transformaciones gauge globales, pero no frente a transformaciones gauge locales. Modi camos el lagrangiano para que sea invariante frente a transformaciones gauge locales, con lo que se tiene Dµ = @µ - ipg2 I+ wW(x) - ipg2 I- wWµ (x) - i cos g w (cos2 wIw - sin2 wY w=2)Z(x) - ieQA(x) 3 y el lagrangiano resulta, LF = - (D)ji* j (x)(D)ikk(x) - c 2(i (x)i(x) - v 2=2)2 ijk i que es una expresion invariante gauge local, en la que se ha includo el acoplamiento con los campos gauge. Realizando una transformacion gauge local del grupo U(2), podemos hacer que 1(x)= 0 y que 2(x) sea puramente real. En esa transformacion, se tiene que (1(x), 2(x)) . (0, v=p2+ (x)=p2) 104 donde (x) indica la desviacion de los campos con respecto al mnimo de energa potencial. Los campos gauge originales W;W µ ;A;Zµ se modi caran englobando las derivadas de los parametros relevantes que producen la transformacion anterior, pasando a unos campos W0;W 0;A0;Z0. Vamos a considerar situaciones de energa baja, en la cual los campos escalares (x)i tomen valores proximos al mnimo de energa potencial. Podemos considerar que (x) va a ser mucho menor que v. Desarrollando el lagrangiano, e ignorando los terminos los terminos de orden ((x)=v)2 o superior, se tiene: F mA H0 AH L'L+ L+ Ldonde LmA = ..1=4g 2 v 2W 0(x)W 0(x) - 1=8(g 2/ cos 2 w)v 2(Z0(x))2  equivale a un termino de masa para los campos W0(x)y Z0(x), en el que la masa de la partculas asociadas es mW = gv=2y mZ = gv=2 cos w. El campo A0(x) no tiene termino de masa, como debe corresponder al campo electromagnetico. LH0 = ..1=2(@(x))2 - c 2 v 2((x))2 es el lagrangiano del campo escalar (x). La partcula asociada a este campo es el boson de Higgs, que tiene espn cero y masa dada por m. = p2cv. El boson de Higgs esta acoplado a los bosones gauge W +;W - y Z0 a traves del terminos LAH = ..1=2g 2v(x)W 0(x)W 0(x) - 1=4(g 2/ cos 2 w)v(x)(Z0(x))2  Aunque LF es invariante frente a transformaciones gauge locales, la espresion aproximada LmA + LH0 + LAH , valida a energas bajas, no es mani estamente invariante frente a transformaciones gauge locales del grupo U(2), ya que aparecen terminos cuadraticos en los campos gauge. Por tanto, se dice que se ha producido una ruptura espontanea de la simetra. 10.6 Teora Electrodebil La teora electrodebil de Weinberg y Salam es una teora Gauge U(2) en la que se incluye el mecanismo de Higgs de ruptura espontanea de la simetra. En esta teora, la interaccion electromagnetica y debil vienen descritas por dos constantes de acoplo, g y g0. Las masas de los bosones W ± y Z0 vienen dadas en funcion de las constantes de acoplo, y del parametro v, que indica el valor del campo (x) que da la mnima energa potencial. Constantes de acoplo A partir de los valores, evaluados para E . M(Z0), e = 0:31341 y sin2(w)=0:23117, se obtiene: g = e/ sin(w)=0:65185 ; g. = e/ cos(w)=0:35744 Relacion con la constante de Fermi La constante de Fermi GF esta relacionada con la constante de acoplo g y con la masa de la W a traves de la expresion GF / (2) = g2=8mW 2 . Sustituyendo el valor de mW = gv=2, se obtiene que la constante de Fermi solo depende del valor del parametro v, con lo cual v =2..1=4G..F 1=2 = 246:22GeV 105 Bosones vectoriales intermedios la interaccion electro-debil se produce por el intercambio del foton y de las partculas masivas W + , W - y Z0 . El intercambio de las W ± da cuenta de las corrientes debiles cargadas, mientras que en intercambio de la Z0 describe las corrientes debiles neutras. A partir del valor de v y de las constantes de acoplo, puede predecirse la masa de la W, mW = gv=2 = 80:25GeV y la de la Z0 , gv=2 cos w = 91:53, que estan en excelente acuerdo con los experimentales mW = 80:41GeV y mZ = 91:187GeV . Masas de los fermiones La teora electrodebil permite que las partculas de un doblete de isospn debil tengan distinta masa. Ello aparece introduciendo un acoplamiento entre el campo escalar i(x) y los campos fermionicos i(x), que sea invariante frente a transformaciones gauge locales, LF F . Este acoplamiento da lugar a un termino cuadratico en los campos fermionicos cuando se realiza la ruptura espontanea de la simetra, LFm,y queda un termino que acopla el campo de Higgs a los fermiones LFH . Quiralidad El hecho de que solo los fermiones de quiralidad negativa sientan la interaccion debil tambien aparece naturalmente, cuando se requiere que los fermiones de quiralidad negativa formen un doblete Iw =1=2 frente a las transformaciones gauge locales del grupo U(2), mientras que los fermiones de quiralidad positiva forman un singlete Iw = 0. Ello hace que aparezca en la expresion de las corrientes debiles cargadas un termino (1 - 5)=2. Ello hace que solo los fermiones (quarks y leptones) con quiralidad negativa contribuyan a las corrientes debiles cargadas. No obstante, los fermiones con quiralidad positiva y masa no nula contribuyen a las corrientes debiles neutras. Numero de familias La teora electrodebil permite calcular con precision muchas magnitudes. En concreto, pueden calcularse las anchuras de los bosones W ± y Z0 . Los resultados estan plenamente de acuerdo con la teora electrodebil, y permiten a rmar que solamente existen tres neutrinos sin masa. Ello lleva a pensar que el numero de familias de leptones y de quarks es de tres, con lo cual no quedaran nuevos fermiones por descubrir. Boson de Higgs La consistencia de la teora electrodebil exige que exista una partcula fundamental, aun no descubierta, que es el boson de Higgs. Esta partcula tiene carga nula y espn cero. La teora electrodebil no predice la masa del boson de Higgs, ya que depende del parametro c, que no es conocido. No obstante, sus constantes de acoplamiento a los bosones gauge W ± y Z0 son conocidas. Tambien lo son las constantes de acoplamiento con los fermiones, que son tanto mayores cuanto mayor sea la masa del fermion. Las busquedas de esta partcula permiten a rmar que, de existir, tiene una masa superior a 89.7 GeV. Por otro lado, un analisis detallado de los efectos indirectos del boson de Higgs en una serie de resultados experimentales sugieren su masa debe ser inferior a 262 GeV (1999). Algunos resultados preliminares en el CERN (2000) indican que la masa del boson de Higgs puede ser de 115 GeV. En resumen, obtenemos que la teora electrodebil se obtiene a partir de una teora gauge U(2) en la que se introduce un doblete de campos escalares que producen el mecanismo de Higgs de ruptura espontanea de la simetra. El lagrangiano viene dado por LEW = LF + LA + LF 'LF 00 + LFA + LA. + LH donde LF 00 es el lagrangiano de los fermiones sin interaccion, en el que las masas de los fermiones pueden ser distintas ya que incluyen el acoplamiento al campo escalar LmF . LFA describe la interaccion de los fermiones con cuatro campos gauge, asociados a los bosones gauge , W ± y Z0, en funcion de las constantes g y g0. A. es el lagrangiano de los bosones gauge, que incluye el termino LA de la teora U(2) LmA y los terminos de masa Lpara W ± y Z0, que provienen del acoplamiento al campo escalar. 106 LH es el lagrangiano del boson de Higgs, que incluye el termino LH0, el termino LHA que describe el acoplamiento a los bosones W ± y Z0, y tambien el termino de acoplamiento a los fermiones, LHF , que es tanto mayor cuanto mayor sea la masa de los fermiones. Por ello, el boson de Higgs se desintegrara principalmente en quarks bb. 10.7 El Modelo Estandar El desarrollo de la fsica de partculas, especialmente en la segunda mitad de este siglo, ha llevado a la formulacion de un paradigma para explicar las propiedades fundamentales de la naturaleza. El modelo estandar se considera un \modelo” y no una \teora” ya que tiene un numero relativamente alto de parametros que deben determinarse a partir de la experiencia. Estos son: Las masas de los leptones cargados y de los quarks (9). Las constantes de acoplo de la teora electrodebil y la cromodinamica cuantica (3). Los parametros de la matriz CKM (4). El valor del campo escalar v y la masa del boson de Higgs (2). Los ingredientes fundamentales del modelo estandar como paradigma actual de la naturaleza son los siguientes: 10.7.1 Partculas Elementales Los constituyenes fundamentales de la naturaleza son fermiones con J =1=2. Estos se dividen en leptones y quarks. Los leptones aparecen en tres generaciones: e - e, µ - µ y t - t . La interaccion electro-debil conecta las partculas de cada generacion. La interaccion de color no actua entre estas partculas. En cada generacion, hay una partcula de carga -1, con masa no nula, y una de carga 0 y masa 0. Los quarks aparecen tambien en tres generaciones: u - d, c - s, t - b. En cada generacion hay una partcula de carga 2/3 y una de carga -1/3, con masas no nulas. Cada partcula puede aparecer en tres colores. La interaccion de color actua entre las partculas, dependiendo del color. La interaccion debil conecta principalmente partculas de la misma generacion, aunque tambien puede mezclar distintas generaciones, a traves de la matriz CKM. Los quarks no aparecen aislados en la naturaleza. Solamente aparecen sistemas de quarks que sean incoloros, es decir, invariantes frente a transformaciones del grupo SU(3)c. Estos sistemas son los bariones, compuestos de tres quarks, y los mesones, compuestos de un quark y un antiquark. Ademas, tambien debe considerarse como fundamental al boson de Higgs, que, aunque aun no se haya descubierto, es un ingrediente fundamental del modelo estandar. 10.7.2 Interacciones Las interacciones fundamentales son la interaccion de color y la interaccion electrodebil. La interaccion de color es una interaccion que aparece en la cromodinamica cuantica (QCD). La QCD es una teora gauge local que proviene de exigir que el lagrangiano que describe los quarks con los tres colores, sea invariante frente a transformaciones gauge locales del grupo SU(3)c, que mezclan los quarks de diferentes colores. La interaccion viene determinada por una constante, gs. En la cromodinamica cuantica aparecen ocho 107 campos gauge, asociados a ocho bosones gauge, llamados gluones, que tienen J =1y masa cero. Cada gluon esta asociado a un generador del grupo SU(3)c. El acoplamiento de los gluones a los quarks viene caracterizado por las matrices de Gell-Mann a, que representan a los generadores en la representacion fundamental. Los gluones interactuan entre s. Su acoplamiento viene determinado por las constantes de estructura fa del grupo bc SU(3). Esta interaccion provoca el con namiento, por el que sistemas coloreados (quarks o gluones) no pueden aparecer libremente en la naturaleza. La QCD es la responsable de las propiedades de los hadrones, y de las interacciones fuertes entre ellos. No obstante, la no validez del tratamiento perturbativo para la QCD a energas bajas (1 GeV) hace que no haya sido posible hasta ahora predecir las propiedades de los hadrones a partir de la QCD. La interaccion electrodebil es la que aparece en la teora electrodebil (TED). La TED es una teora gauge local que proviene de exigir que el lagrangiano que describe los fermiones de in doblete de isospn debil sea invariante frente a transformaciones del grupo U(2), que mezclan estos fermiones. La interaccion electrodebil viene determinada por dos constantes de acoplo g y g0. En la TED aparecen cuatro campos gauge, uno de los cuales el es campo electromagnetico, que lleva asociado el foton, y los otros describen la interaccion con corrientes debiles cargadas y neutras, y llevan asociadas los bosones vectoriales W + , W - y Z0 . Estos bosones adquieren masa por el mecanismo de Higgs de ruptura espontanea de la simetra. Este mismo mecanismo hace que las masas de los fermiones de un doblete de isospn debil sean diferentes. El acoplamiento del foton y de los bosones vectoriales W + , W - y Z0 con los fermiones viene caracterizado por las matrices que representan a los generadores de U(2) en la representacion fundamental. El acoplamiento de estos bosones entre si viene caracterizado por las constantes de estructura de U(2). 10.7.3 Marco teorico El marco teorico del modelo estandar es el de las teoras gauge locales. En estas teoras, la interaccion surge naturalmente a partir de las propiedades de simetra de los sistemas sin interaccion. En este sentido, las teora clasica del electromagnetismo y la teora general de la gravitacion son teoras gauge locales, aunque clasicas. La Electrodinamica Cuantica fue la primera teoria cuantica de campos que se obtuvo como una teora gauge local. Posteriormente, se obtuvo la Cromodinamica Cuantica y la Teora Electrodebil. Las teoras gauge locales son renormalizables. No obstante, su mayor atractivo viene de que son conceptualmente muy simples, pues provienen del concepto de que las transformaciones de simetra tienen sentido cuando se realizan localmente, y no en todo el espacio. Al mismo tiempo, son capaces de desarrollar una gran riqueza de fenomenos, en pleno acuerdo con la experiencia. 10.8 Problemas 1) Considera el lagrangiano clasico de una partcula de masa m que se mueve en dos dimensiones (x, y) en un potencial V (r), donde r2 = x2 + y2 . Demuestra que este lagrangiano es invariante frente a rotaciones de un angulo, cuando f es independiente del tiempo (transformacion gauge global). Demuestra que el lagrangiano no es invariante frente a rotaciones de un  angulo (t) (transformacion gauge local). 108 Demuestra que introduciendo una nueva variable w (campo gauge), sustituyendo dx=dt por dx=dt + wy,y dy=dt por dy=dt - wx, el lagrangiano modi cado es invariante frente a transformaciones gauge locales, exigiendo que w se transforme en w - d(t)=dt. Comprueba que el lagrangiano modi cado corresponde al lagrangiano en un sistema de referencia no inercial que rota con velocidad w. Los terminos centrfugo y de Coriolis son el equivalente a las interaccione gauge locales. 2) Considera el lagrangiano clasico modi cado (con w) del problema anterior. V (r) es mnimo para r = R, V (r)=1=2K(r - R)2 . Considera una rotacion (t) que pase de las variables (x, y)a(r, 0). Desarrolla el nuevo lagrangiano tomando r = R + a, y suponiendo que a es peque~no. Relaciona los terminos que aparecen con los del mecanismo de Higgs. 3) Partiendo de la expresion de las matrices de Gell-Mann, obten las constantes de acoplo de todos los quarks con todos los gluones. 4) Obten las constantes de acoplo del electron y el neutrino con los bosones vectoriales de la teora electrodebil , W + , W - y Z0 . Hacer lo propio para los quarks u y d. 5) Obten la expresion explcita de los terminos en primer orden en g y g. del lagrangiano de interaccion de los bosones vectoriales de la teora electrodebil , W + , W - y Z0, expresando las constantes de acoplo pertinentes. 6) Suponiendo que la masa del boson de Higgs resulte ser de 115 GeV, obten el valor del parametro c de la teora electrodebil. Deduce cual es el valor de la densidad de energa potencial para que i(x) = 0. A partir de ese valor, estima cual debe ser la energa por cada fm3 para que se mani este explcitamente la simetra frente a transformaciones gauge locales U(2). 109